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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 8

Sejam f : R 3 → R diferenciável e P 0 = 0,0 , 0 tais que ∂ f ∂ x P 0 = 2 , ∂ f ∂ y P 0 = ∂ f ∂ z P 0 = 0 . Defina g u , v = f u - v , u 2 - 1,3 v - 3 e calcule ∂ g ∂ u 1,1 e ∂ g ∂ v 1,1 .

Passo 1

Bom galera, pra começar vamos notar que:

g u , v = f x , y , z

Logo:

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ u

E:

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ v

Agora, uma pequena relembrada na formulinha da regra da cadeia:

∂ g ∂ u = ∂ g ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ g ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ g ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

E também pra outra variavel fica:

∂ g ∂ v = ∂ g ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ g ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ g ∂ z ⋅ ∂ z ∂ v

Passo 2

Belezinha, agora tenho que mostrar outra coisinha bem importante, a questão pede a derivada em relação a u e v no ponto ( 1,1 ) , não é?

Então vamos descobrir o x e o y nesse ponto:

g 1,1 = f 1 - 1 , 1 2 - 1 ,   3 - 3

→ g 1,1 = f 0,0 , 0

Logo isso é igual a P 0 , então agora a gente vê que a questão nos deu uns valores pra gente usar.

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos ir de fato pra regra da cadeia. Primeiro em relação a u :

∂ g ∂ u = ∂ g ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ g ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ g ∂ z ⋅ ∂ z ∂ u

→ ∂ g ∂ u ( 1,1 ) = ∂ f ( P 0 ) ∂ x ⋅ ∂ ( u - v ) ∂ u + ∂ f ( P 0 ) ∂ y ⋅ ∂ ( u 2 - 1 ) ∂ u + ∂ f ( P 0 ) ∂ z ⋅ ∂ ( 3 v - 3 ) ∂ u

Agora colocamos os valores que a questão deu e derivamos:

∂ g ∂ u 1,1 = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 u + 0 ⋅ 0

Aplicamos o valor de u :

∂ g ∂ u 1,1 = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 1 + 0 ⋅ 0

Calculamos isso:

∂ g ∂ u 1,1 = 2 + 0 + 0

→ ∂ g ∂ u 1,1 = 2

Passo 4

Por fim fazemos o mesmo em relação a v , bora lá:

∂ g ∂ v = ∂ g ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ g ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v + ∂ g ∂ z ⋅ ∂ z ∂ v

→ ∂ g ∂ v ( 1,1 ) = ∂ g ( P 0 ) ∂ x ⋅ ∂ ( u - v ) ∂ v + ∂ g ( P 0 ) ∂ y ⋅ ∂ ( u 2 - 1 ) ∂ v + ∂ g ( P 0 ) ∂ z ⋅ ∂ ( 3 v - 3 ) ∂ v

Botamos os valores que a questão deu e derivamos:

∂ g ∂ v 1,1 = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 u + 0 ⋅ 3

Agora substituimos as variaveis pelos valores do ponto:

∂ g ∂ v 1,1 = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 ( 1 ) + 0 ⋅ 3

→ ∂ g ∂ v 1,1 = 2 + 0 + 0 = 2

E prontinho. 😊

Resposta

∂ g ∂ u 1,1 = 2

∂ g ∂ v 1,1 = 2

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