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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 2b

Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t :

z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente vai ter de substituir as variaveis x e y pela função que elas equivalem, porque assim a gente vai conseguir formar uma função apenas em função de t . Então bora lá!

z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Substituindo ficamos com: z = ( e t ) 2 + ( e - t ) 2 ln ⁡ ( e t ) 2 + ( e - t ) 2

→ z = e 2 t + e - 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t

→ z = e 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t

Passo 2

Belezinha, agora vamos ter que devirar isso, pra isso vamos usar a regra do produto para derivadas, que é assim:

f x ⋅ g x = f ' x ⋅ g x + f x ⋅ g ' ( x )

Vamos usar isso e ver como fica:

e 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t

→ d z d t = e 2 t ' ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 2 t ⋅ [ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t ] ' + e - 2 t ' ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ [ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t ] '  

Passo 3

Agora vamos derivar separado isso, pra ficar mais fácil:

Vamos usar aqui a regra da cadeia das derivadas

d ln ⁡ e 2 t + e - 2 t d x = 1 e 2 t + e - 2 t ⋅ e - 2 t ( e 4 t - 1 ) e 2 t + e - 2 t

= e - 2 t ( e 4 t - 1 ) e 2 t + e - 2 t = e 4 t - 1 e 4 t + 1

Passo 4

Por fim, substituímos a nossa derivada e simplificamos:

d z d t = e 2 t ' ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t ' + e - 2 t ' ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t '

→ d z d t = 2 e 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1 + - 2 e - 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1  

→ d z d t = e 2 t ⋅ 2 ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1 + - e - 2 t ⋅ 2 ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1  

Parece estranho, mas a gente pode ajeitar um pouquinho mais ainda.

→ d z d t = e 2 t ⋅ ln ⁡ ( e 2 t + e - 2 t ) + e 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1 + - e - 2 t ⋅ ln ⁡ ( e 2 t + e - 2 t ) + e - 2 t ⋅ e 4 t - 1 e 4 t + 1  

→ d z d t = e 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 4 t - 1 e 4 t + 1 + e - 2 t - ln ⁡ ( e 2 t + e - 2 t ) + e 4 t - 1 e 4 t + 1  

E prontinho. 😊

Resposta

d z d t = e 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 4 t - 1 e 4 t + 1 + e - 2 t - ln ⁡ ( e 2 t + e - 2 t ) + e 4 t - 1 e 4 t + 1  

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Assuma que w = f t s 2 + s t e ∂ f ∂ x x ,y = x y e ∂ f ∂ y x ,y = x 2 2 . Encontre ∂ w ∂ t e ∂ w ∂ s .
Curva no espaço. Seja w = x 2 e 2 y cos ⁡ 3 z . Encontre o valor de d w / d t no ponto 1 , ln ⁡ 2 ,0 na curva x = cos ⁡ t , y = ln ⁡ t + 2 , z = t .
Diferenciando integrais. Sob certas condições com relação à continuidade, é verdade que, se F x = ∫ a b g t ,x d t , então F ' x = ∫ a b g x t ,x d t . Utilizando esse fato e a regra da cadeia, podemo