Uma barra horizontal está localizada sobre o eixo dos x , como mostra a Figura 8.105.

Se a densidade linear num ponto qualquer da barra é proporcional à distância desse ponto até a origem, determinar o valor da constante de proporcionalidade, de modo que a massa da barra seja m = (b + a) / 2 u.m.

Passo 1

Sendo proporcional à distância x desde a origem, a densidade linear pode ser escrita, na forma de função polinomial, da seguinte maneira:

λ x = k x

Onde k é a constante de proporcionalidade que queremos encontrar.

Já sabemos dos exercícios anteriores a seguinte expressão:

d m = λ ∙ d x

Passo 2

Integrando ambos os lados da sentença anterior, tendo como limite de integração o intervalo de a a b , temos:

M = ∫ a b k x ∙ d x

b + a 2 = k 2 ∙ x 2 a b

b + a 2 = k 2 ∙ ( b 2 - a 2 )

k = b + a b 2 - a 2

k = b + a ( b + a ) ( b - a )

∴ k = 1 b - a

Resposta

∴ k = 1 b - a

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