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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 55

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1   ∫ a r c s e n   y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é entender a região de integração. Vamos esboçar a região para facilitar a troca da ordem de integração.

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até π 2 , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = s e n   x . Assim:

∫ 0 1   ∫ a r c s e n   y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Isso descreve uma região no plano x y onde:

  • A reta y = 0 e y = 1   são os limites inferiores e superiores de y .
  • A curva x = a r c s e n   y é a fronteira esquerda e x = π 2

Passo 2

Agora, vamos trocar a ordem de integração. A nova ordem será integrar primeiro em y e depois em x .

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Passo 3

Agora que trocamos a ordem de integração, vamos resolver a integral.

A integral interna é:

∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y

Como cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x é constante em relação a y , podemos simplificar a integral:

cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   ∫ 0 s e n   x d y

= cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x y 0 s e n   x

Substituindo os limites de integração:

cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   s e n   x

Portanto:

∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y = cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   s e n   x

Passo 4

Agora substituindo na integral externa:

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = ∫ 0 π / 2   cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x   s e n   x d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = 1 + cos 2 ⁡ x  

Então

d u = - 2 cos ⁡ x   s e n   x   d x

Analisando os limites, temos:

x = 0 → u = 2

x = 1 → u = 1

Substituindo, temos:

∫ 0 π / 2   s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = ∫ 2 1   - u d u 2    

∫ 2 1   - u d u 2 = - 1 2 u 3 2 3 / 2 2 1

∫ 2 1   - u d u 2 = - 1 3 1 - 2 3 3

∫ 2 1   - u d u 2 = 1 3 2 2 - 1

A nossa resposta será:

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = 1 3 2 2 - 1

Resposta

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = 1 3 2 2 - 1

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