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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 25

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 v u + v 2 4   d u d v

Passo 1

Eai turminha fera! Tudo bem com vocês!? Vamos debulhar essa questão!

O que entendemos do enunciado? Repare que ele nos forneceu uma integral dupla definida, ou seja, uma integral que possui limites para aplicar, e devemos achar a resposta dessa integral.

∫ 0 1 ∫ 0 1 v u + v 2 4   d u d v

Mas e agora, como resolvo essa? Vamos montar uma estratégia juntos!

Primeiro repare que temos duas variáveis de integração, u e v , logo olhando a integral temos que integrar primeiro em d u e depois em d v . Vamos precisar aplicar o método da substituição na hora da integral para facilitar e não pode esquecer de aplicar os limites de integração.

Bora lá executar esses passos!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em u primeiro e depois em v .

Para integrar em u, vamos aplicar uma substituição para simplificar.

x = u + v 2

d x = d u

Logo, a integral fica:

∫ 0 1 ∫ 0 1 v x 4   d x d v

Observe que v é constante na integral para x , logo integrando em x obtemos:

∫ 0 1 1 5 v x 5 0 1 d v

Porem vamos retornar o valor de x = u + v 2 , para aplicarmos os limites de integração:

∫ 0 1 1 5 v u + v 2 5 0 1 d v

1 5 ∫ 0 1 v 1 + v 2 5 - v v 2 5 d v

1 5 ∫ 0 1 ( v 1 + v 2 5 - v 11 ) d v

Passo 3

Agora vamos integrar em v , e para isso vamos separar em duas integrais para facilitar, veja só:

1 5 ∫ 0 1 v 1 + v 2 5 d v - 1 5 ∫ 0 1 v 11 d v

Para a primeira integral, vamos fazer uma substituição.

w = 1 + v 2

d w = 2 v   d v

Logo,

d w 2 = v   d v

Substituindo na integral

1 5 ∫ 0 1 w 5 d w 2   - 1 5 ∫ 0 1 v 11 d v

Integrando e retornando o w = 1 + v 2 , e como os limites de integração são os mesmo para as duas integrais, podemos escrever assim:

1 5 ∙ 1 2 ∙ 1 6 1 + v 2 6 - 1 5 ∙ 1 12 v 12 0 1  

1 60 1 + v 2 6 - 1 60 v 12 0 1  

Aplicando os limites de integração, temos:

1 60 2 6 - 1 - ( 1 )

= 1 60 62 = 31 30

Logo, nossa integral é:

∫ 0 1 ∫ 0 1 v u + v 2 4   d u d v = 31 30

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 v u + v 2 4   d u d v = 31 30

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∬_R (y + x y^(- 2)) d A , R = { ( x , y ) | 0 = x = 2 , 1 = y = 2 }
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