Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 6
Em cada um dos problemas de 1 a 10:
(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.
6.
Passo 1
a) Vamos começar escrevendo a equação na forma geral:
Como , podemos dizer que é um ponto singular regular, já que isso faz com que o primeiro termo zere.
Se dividirmos os outros termos por e multiplicarmos tudo por para que a equação fique parecida com a equação de Euler, teremos:
Agora mostramos que os limites quando para cada termo são finitos, e isso prova que o ponto é uma singularidade:
Passo 2
b) A solução que buscamos vai ser do tipo:
E suas derivadas:
Substituindo elas na equação:
Reescrevendo:
E por fim, deslocamos todos os coeficientes para , isso faz com que os primeiros termos das séries, menos da terceira, precisem ser somados por fora, vai ficar o seguinte:
Como a equação tem que ser satisfeita para todo isso só é possível se os coeficientes que multiplicam cada termo de no polinômio sejam zero, assim a equação indicial vai ser:
As raízes:
E a relação de recorrência então deve ser, para :
Como precisamos escrever em termos de , vamos substituir , para ver qual é mais ou menos a cara do nosso coeficiente:
Substituindo um no outro:
Podemos escrever assim:
Para a raiz
Dá para ver que fica praticamente a mesma coisa que a outra raiz, mudando apenas o sinal entre parêntesis. Vamos então escrever direto o em função de :
Passo 3
c) e d) Como as raízes são diferentes e não diferem por um inteiro, então existem duas soluções linearmente independentes para esse problema. Como já temos as raízes das equações e a solução de recorrência, basta substituirmos na solução que usamos no início:
Essa é a resposta da letra (c)
E essa da letra (d).
Repare que adicionamos um termo para do lado de fora, porque antes supomos uma solução para , mas precisamos mudar os índices para ao longo do problema, então nossa resposta está em termos de , e precisamos adicionar o termo que ficou faltando.
Além disso, omitimos .