Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

1. x * y'' + 2 * x * y' + 6 * e^x * y = 0

Passo 1

a) Sabemos que o único ponto que zera o primeiro termo na equação é x = 0 , vamos agora ver se ele é regular.

Bom, começamos escrevendo a equação na forma:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Se dividirmos a equação por P ( x ) e multiplicarmos por x 2 , ela fica:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Como

P x = x

Q x = 2 x

R x = 6 e x

Aplicamos o limite sobre x Q x P x e x 2 R x P x com x tendendo à singularidade, que no caso é zero, para sabermos se a equação é analítica nesse ponto:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( 2 x ) x = lim x → 0 ⁡ 2 x = 0

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 6 e x ) x = lim x → 0 ⁡ 6 x e x = 0

Os limites não tendem para infinito, o que significa que o ponto é um ponto singular regular.

Passo 2

b) Pela definição da equação indicial:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

A gente pode substituir os termos que calculamos anteriormente com os limites:

r r - 1 = 0

As raízes serão:

r 1 = 1

r 2 = 0

Esses serão os expoentes na singularidade para o ponto x = 0 .

Resposta

a   x = 0

b   r r - 1 = 0

r 1 = 1

r 2 = 0

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