Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

6. 2x(x + 2) y'' + y' - xy = 0

Passo 1

a) Para esse caso, dois pontos x = 0 e x = - 2 , zeram o primeiro termo, eles serão nossos pontos singulares. Para mostrarmos que eles são regulares ou não, começamos escrevendo a equação do seguinte jeito:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dividindo equação por P ( x ) e multiplicando por x 2 , ela fica:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Onde:

P x = 2 x ( x + 2 )

Q x = 1

R x = - x

Agora aplicamos o limite para x → 0 em cada termo que pode causar uma descontinuidade:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 x ( x + 2 ) = lim x → 0 ⁡ 1 2 ( x + 2 ) = 1 4

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( - x ) 2 x ( x + 2 ) = lim x → 0 ⁡ - x 2 2 ( x + 2 ) = 0

Os limites não divergem, são finitos, o que significa que nossa singularidade é regular.

Para o caso em que x = - 2 , a gente multiplica a equação por x + 2 2 ao invés de x 2 , os limites então ficam:

p 0 = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) Q x P x = lim x → - 2 ⁡ x + 2 2 x ( x + 2 ) = lim x → - 2 ⁡ 1 2 x = - 1 4

q 0 = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) 2 R x P x = lim x → - 2 ⁡ ( x + 2 ) 2 ( - x ) 2 x ( x + 2 ) = lim x → - 2 ⁡ - x - 2 2 = 0

Também vai ser um ponto singular regular.

Passo 2

b) Para a singularidade em x = 0 , podemos calcular a equação indicial através de:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Substituindo p 0 e q 0 que obtivemos pelos limites:

r r - 1 + 1 4 r = 0

r 2 - 3 4 r = 0

r r - 3 4 = 0

As raízes dessa equação indicial vão ser:

r 1 = 0

r 2 = 3 / 4

Sendo esses valores, os expoentes da singularidade.

E para x = - 2 , a gente repete o processo:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Mas agora usamos p 0 e q 0 para esse caso:

r r - 1 - 1 4 r = 0

r r - 5 4 = 0

E as raízes:

r 1 = 0

r 2 = 5 4

Resposta

a   x = 0

x = - 2

b   r r - 3 4 = 0

r 1 = 0

r 2 = 3 / 4

r r - 5 4 = 0

r 1 = 0

r 2 = 5 / 4

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