Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 6
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
6.
Passo 1
a) Para esse caso, dois pontos e , zeram o primeiro termo, eles serão nossos pontos singulares. Para mostrarmos que eles são regulares ou não, começamos escrevendo a equação do seguinte jeito:
Dividindo equação por e multiplicando por , ela fica:
Onde:
Agora aplicamos o limite para em cada termo que pode causar uma descontinuidade:
Os limites não divergem, são finitos, o que significa que nossa singularidade é regular.
Para o caso em que , a gente multiplica a equação por ao invés de , os limites então ficam:
Também vai ser um ponto singular regular.
Passo 2
b) Para a singularidade em , podemos calcular a equação indicial através de:
Substituindo e que obtivemos pelos limites:
As raízes dessa equação indicial vão ser:
Sendo esses valores, os expoentes da singularidade.
E para , a gente repete o processo:
Mas agora usamos e para esse caso:
E as raízes: