Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

8. ( x + 1 ) 2 y ' ' + 3 x 2 - 1 y ' + 3 y = 0

Passo 1

a)Para esse caso, o ponto que zera o primeiro termo da nossa equação diferencial é x = - 1 , vamos reescrever a equação como:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Depois dividir a equação toda por P ( x ) e multiplicar por ( x + 1 ) 2 :

( x + 1 ) 2 y ' ' + ( x + 1 ) ( x + 1 ) Q x P x y ' + ( x + 1 ) 2 R x P x y = 0

Sendo:

P x = x + 1 2

Q x = 3 ( x 2 - 1 )

R x = 3

E então aplicamos os limites nos termos que envolvem as razões de P ( x ) com x → - 1 :

p 0 = lim x → - 1 ⁡ x Q x P x = lim x → - 1 ⁡ ( x + 1 ) 3 ( x 2 - 1 ) x + 1 2 = lim x → - 1 ⁡ 3 x 2 - 1 x + 1 = lim x → - 1 ⁡ 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) x + 1

p 0 = lim x → - 1 ⁡ 3 x - 1 = - 6

q 0 = lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 R x P x = lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 ( 3 ) x + 1 2 = lim x → - 1 ⁡ 3 = 3

Os dois limites convergem para números, o que significa que o ponto é uma singularidade regular.

Passo 2

b) A equação indicial pode ser escrita da seguinte forma:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

Substituímos p 0 e q 0 calculados no passo anterior:

r r - 1 - 6 r + 3 = 0

r 2 - 7 r + 3 = 0

Usando Bhaskara para calcular as raízes:

r = 7 ± 37 2

E elas serão os expoentes na singularidade.

Resposta

a   x = - 1

b   r 2 - 7 r + 3 = 0

r = 7 ± 37 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados