Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 3
Em cada um dos problemas de 1 a 10:
(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.
3.
Passo 1
a) Podemos ver que é um ponto singular regular da equação já que zera o primeiro termo. Podemos mostrar isso através dos limites quando :
Então:
E como
Como os dois limites são finitos em , então é um ponto singular.
Passo 2
b) Para encontrarmos a equação indicial, vamos precisar substituir a solução:
E da sua segunda derivada, já que não temos termo com na EDO:
Na equação diferencial:
Multiplicamos tudo por :
E andamos com o índice uma vez na segunda série:
E fazemos o mesmo com a primeira para podermos colocar tudo dentro de uma série só, isso fará com que o primeiro termo da série fique para fora da soma:
Já que a equação deve ser satisfeita para todo então os coeficientes de cada termo são zero. Assim, temos a equação indicial:
Onde as raízes serão e .
E a relação de recorrência fica:
Passo 3
c) Como as raízes diferem por um um inteiro, precisamos apenas encontrar a solução para a maior raiz
Substituindo ela na relação de recorrência:
E agora escrevemos alguns coeficientes para termos uma ideia da cara do termo geral:
Substituindo um no outro:
Vemos que o sinal alterna começando negativo, e que temos produtos do tipo fatorial no denominador, sendo que nos termos entre parêntesis o fatorial está uma unidade avançada em relação aos termos de fora, assim:
E a nossa solução fica:
Ou: