Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 4
Em cada um dos problemas de 1 a 10:
(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.
4.
Passo 1
a) Para mostrarmos que ela possui um ponto singular regular, escrevemos a equação como:
Quando , dividimos então a equação toda por , multiplicamos tudo por aplicamos limites sobre cada termo que envolve razão de :
Como ambos os limites são finitos, existe uma singularidade em .
Passo 2
b) Precisamos agora usar uma solução do tipo:
Suas derivadas vão ser:
Substituindo na E.D.O.:
Multiplicando tudo por , pois não queremos termos negativos nos expoentes:
E agora deslocamos as nossas séries um termo para frente, para podermos escrever tudo em termos de , isso faz com que o primeiro termo das duas primeiras séries precise ser escrito por fora:
Colocamos tudo dentro de uma série só:
Como a equação deve ser satisfeita para todo então os coeficientes que multiplicam cada termo do polinômio devem ser iguais a zero, assim, a equação indicial vai ser:
E a relação de recorrência, que tiramos da própria série, vai ser:
Para a raiz :
Calculando alguns termos para sabermos como é o coeficiente em termos de :
Substituindo um no outro:
Podemos ver que a forma de reproduzir fica:
Passo 3
c) Aqui as raízes são iguais , então precisamos calcular uma solução só.
Como já sabemos o valor de nossa solução vai ser:
Repare que omitimos .