Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

5.

Passo 1

a) O único ponto singular é , porque zera o primeiro termo da equação, para sabermos se ele é regular precisamos calcular e . Começamos escrevendo a equação da seguinte forma:

Dividindo equação por e multiplicando por , ela fica:

Sendo que:

Agora aplicamos o limite para sobre as duas razões que apareceram:

Na penúltima igualdade aplicamos a Regra de L’Hôpital.

Como dá para ver os limites não divergem, o que significa que o ponto é singular regular.

Passo 2

b) Agora, para calcularmos a equação indicial, começamos aplicando a regra:

E substituímos e :

Essa será a equação indicial. Resolvendo ela por Bhaskara para acharmos as raízes:

Elas serão os expoentes para nossa singularidade.

Resposta

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