Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 2b
Em cada um dos problemas de 1 a 10:
(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente à menor raiz.
2)
Passo 1
b) Para determinara a equação indicial, e a relação de recorrência das raízes da equação. Vamos aplicar o devidos somatórios a equação diferencial:
Assumiremos que é uma solução que pode ser escrita desta forma:
Aplicando a primeira derivada na solução :
Aplicando a segunda derivada na solução :
Passo 2
Agora que temos a soluções escritas na forma de somatórios podemos substituir na equação diferencial e assim simplificando ao máximo teremos a equação indicial.
Substituindo:
Multiplicando pelos fatores que corresponde ao somatório, temos:
Agora ajustamos o índice do terceiro somatório para que nesse somatório também tenha o expoente .
Avaliando nossos termos, temos que todos os somatórios começarão em , temos:
Combinando os temos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos dois lados temos:
Passo 3
Como obtemos nossa equações de cada coeficiente, agora é possível determinar a equação indicial e as raízes indiciais:
Desde que , teremos nossa equação indicial:
Teremos as raízes:
Tenso as raízes isto implica que:
Resposta
Equação indicia:
Raízes: