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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

15.

y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0 ;         y 0 = 2 ,           y ' 0 = 0

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui, meu jovem, é aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO:

L y ' ' - 2 y ' + 4 y = L 0   →

SIM! A transformada é linear, o que significa que podemos quebrar essa transformada grande em vários pedacinhos rsrs:

L y ' ' - 2 L y ' + 4 L y = L 0   →

Lembrando-se dessas transformadas então...

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - 2 s Y s - y 0 + 4 Y s = 0     →

Pelas condições iniciais do problema...

s 2 Y s - 2 s - 2 s Y s - 2 + 4 Y s = 0     →

s 2 Y s - 2 s - 2 s Y s + 4 + 4 Y s = 0     →

s 2 - 2 s + 4 Y s = 2 s - 4     →

Y s = 2 s - 4 s 2 - 2 s + 4

Passo 2

A intenção aqui agora é buscar a transformada inversa dessa função Y s . Mas antes, acho válido a gente trabalhar em cima dessa fração com a finalidade de chegar a expressões que conhecemos bem a transformada inversa .

Y s = 2 s - 4 s 2 - 2 s + 4   →

Perceba que esse denominador não tem raiz real, o que significa que podemos o transformar em um quadrado perfeito:

s 2 - 2 s + 4 = s + a 2 + b 2       →

s 2 - 2 s + 4 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2       →

Por comparação...

2 a = - 2

a 2 + b 2 = 4

a = - 1

b = 3

Ou seja...

Y s = 2 s - 4 s 2 - 2 s + 4   →

Y s = 2 s - 2 s - 1 2 + 3 2   →

Perceba que estamos chegando com uma cara mais amigável. Que tal transformar - 2 em - 1 - 1 ...

Y s = 2 s - 1 - 1 s - 1 2 + 3 2   →

Por que aí podemos separar em duas frações...

Y s = 2 s - 1 s - 1 2 + 3 2 - 2 1 s - 1 2 + 3 2   →

Essa primeira fração já está ok, já essa segunda, como ela parece ser a transformada de um seno, precisamos colocar o mesmo raiz de três no numerador. Pra isso, temos que dividir também por 3 para não alterar a equação...

Y s = 2 s - 1 s - 1 2 + 3 2 - 2 3 3 s - 1 2 + 3 2   →

SHOWWW! Agora estamos preparados para aplicara transformada inversa ! Bora?

Passo 3

Aplicando a transformada inversa...

y t = L - 1 2 s - 1 s - 1 2 + 3 2 - 2 3 3 s - 1 2 + 3 2     →

Como ela também é uma aplicação linear...

y t = 2 L - 1 s - 1 s - 1 2 + 3 2 - 2 3 L - 1 3 s - 1 2 + 3 2     →

Essas transformadas inversas são a de cosseno e seno de 3 t respectivamente. Pelo fato de termos o s - 1 , aparece uma exponencial também...

y t = 2 e 1 t cos ⁡ 3 t - 2 3 e 1 t sin ⁡ 3 t  

Sacou?

Resposta

y t = 2 e t cos ⁡ 3 t - 2 3 e t sin ⁡ 3 t  

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