Seja F s = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t É possível mostrar que, enquantofsatisfizer as condições doTeorema 6.1.2, é possível diferenciar sob o sinal de integral em relação ao parâmetrosquando sa .(a) Mostre que F ' ( s )=L { – t f ( t ) } .(b) Mostre que F n ( s )=L { – t n f ( t ) } ; portanto, derivar a transformada de Laplace corresponde a multiplicar a função original por – t .

Enunciado

Letra a

Considere Como podemos nos diferenciar sob o sinal integral em relação ao parâmetro , temos esse:

Letra b:

Nós vamos usar indução sobre . Temos pelo item (a) que:

Ou seja, temos a prova só pra derivada de primeira ordem, mas queremos mesmo é provar pra qualquer ordem ! Ou seja, verificar se é verdade:

Note que provamos isso para somente, mas precisamos provar pra todo inteiro. Bem, olha a macete. Vamos fingir que é verdade que:

Já que é assim, a derivada em relação a dessa função é:

Portanto, a derivada de ordem será:

Usando a definição de transformada no lugar de :

Seja:

Temos:

E pela definição de transformada isso é o mesmo que

Veja que o argumento é igual dos dois lados da equação, podemos substituir eles por qualquer outra variável pra ganhar uma cara genérica:

Assim, temos:

Virando:

Mas como provamos que também vale, na letra , fechamos a letra :

Ei, a resposta está no passo a passo :)