Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 36
Considere a equação de Bessel de ordem zero
Lembre, da Seção 5.7, de que é um ponto singular regular para essa equação e, portanto, as soluções podem se tornar ilimitadas quando . No entanto, vamos tentar determinar se existem soluções que permanecem limitadas em e têm derivadas finitas aí. Supondo que existe tal solução , seja .
(a)Mostre que satisfaz
(b)Mostre que , em que c é uma constante arbitrária.
(c) Escrevendo , expandindo em uma série binomial válida para s > 1 e supondo que é permitido inverter a transformada termo a termo, mostre que
em que J0 é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero. Note que e que J0 tem derivadas finitas de todas as ordens em t = 0. Foi demonstrado na Seção 5.7 que a segunda solução dessa equação torna-se ilimitada quando .
Passo 1
- Usaremos transformada de Laplace da equação de Bessel e linearidade para chegarmos em:
- Nós temos que escrever a equação encontrada no tópico (a):
- A série binomial para a função dada por , é:
Pelo problema 29, temos que sendo assim ,teremos:
Aplicando a tranformada, teremos :
Então:
Dessa maneira:
Aplicando as equações modificadas em:
Teremos:
Separando termos, teremos:
Multiplicando:
Isolando termos:
Com isso, obtemos a equação :
Passo 2
Então:
Integrando em relação a , teremos então:
Quando é uma constante arbitrária:
Passo 3
Os coeficientes binomiais são:
Para
, teremos:
Unindo os termos, teremos:
Portanto:
Entã0:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)