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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 36

Considere a equação de Bessel de ordem zero

t y ″   +   y '   +   t y   =   0 .

Lembre, da Seção 5.7, de que  t   =   0 é um ponto singular regular para essa equação e, portanto, as soluções podem se tornar ilimitadas quando  t   →   0 . No entanto, vamos tentar determinar se existem soluções que permanecem limitadas em  t   =   0 e têm derivadas finitas aí. Supondo que existe tal solução  y   =   ϕ ( t ) , seja  Y ( s )   =   £ { ϕ ( t ) } .

(a)Mostre que  Y ( s ) satisfaz

( 1   +   s 2 )   Y '   ( s )   +   s Y   ( s )   =   0 .

(b)Mostre que  Y ( s )   =   c 1   +   s 2 – 1 / 2   , em que c é uma constante arbitrária.

(c) Escrevendo 1   +   s 2 - 1 / 2   =   s - 1 1   +   s - 2 - 1 / 2   , expandindo em uma série binomial válida para s > 1 e supondo que é permitido inverter a transformada termo a termo, mostre que

y = c ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n 2 2 n n ! 2 = c J 0 ( t )

em que J0 é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero. Note que  J 0 ( 0 )   =   1 e que J0 tem derivadas finitas de todas as ordens em t = 0. Foi demonstrado na Seção 5.7 que a segunda solução dessa equação torna-se ilimitada quando  t   →   0 .

Passo 1

  1. Usaremos transformada de Laplace da equação de Bessel e linearidade para chegarmos em:

    2. L t y ' ' + L y ' + L t y = L 0 = 0

    Pelo problema 29, temos que   Y s = L ϕ t ,   sendo assim ,teremos:

    Y n s = L { - t n ϕ t }

    Aplicando a tranformada, teremos :

    L t y ' ' = L t ϕ ' ' t = L - t - ϕ ' = - Y 1 ' ( s )

    Então:

    L t y = L t ϕ t = L - t - ϕ = - Y 1 ' ( s )

    Dessa maneira:

    Y 1 ' s = L { ϕ ' ' t }

    Aplicando as equações modificadas em:

    L t y ' ' + L y ' + L t y = L 0 = 0

    Teremos:

    L - ϕ ' ' ( t ) + L ϕ ' ( t ) + L - ϕ ( t ) = 0

    Separando termos, teremos:

    = - Y 1 ' s + s L ϕ ' t + - ϕ 0 - Y ' ( s )

    = - d d s Y 1 ' s + s Y s - ϕ 0 - Y ' ( s )

    = - d d s s 2 Y s - s ϕ 0 - ϕ ' 0 + s Y s - Y ' ( s )

    Multiplicando:

    = - 2 s Y s - s 2 Y ' s + s Y s - Y ' ( s )

    Isolando termos:

    = - s 2 + 1 Y ' s - s Y s = 0

    Com isso, obtemos a equação :

    s 2 + 1 Y ' s + s Y s = 0

    Passo 2

  2. Nós temos que escrever a equação encontrada no tópico (a):

    3. s 2 + 1 Y ' s + s Y s = 0

    s 2 + 1 Y ' s = - s Y s

    Então:

    Y ' s Y ( s ) = - s s 2 + 1

    Integrando em relação a s , teremos então:

    ln ⁡ Y s = - 1 2 ln ⁡ 1 + s 2 + e '

    Quando e ' é uma constante arbitrária:

    Y s = c 1 + s 2 - 1 / 2

    Passo 3

  3. A série binomial para a função f dada por f x = 1 + x a , a ϵ C é:

∑ k = 0 ∞ a k x k

Os coeficientes binomiais são:

a k = a a - 1 a - 2 … ( a - K + 1 ) k !

Para

a = - 1 2 , teremos:

a k = - 1 2 - 1 2 - 1 - 1 2 - 2 … ( - 1 2 - K + 1 ) k !

Unindo os termos, teremos:

- 1 2 k = - 1 k . 1 1 + 2 1 + 4 … ( 1 + 2 k - 2 ) 2 k k !

- 1 2 k = - 1 k . 2 k - 1 ‼ 2 k k !

Portanto:

1   +   s 2 - 1 / 2   =   s - 1 1   +   s - 2 - 1 / 2 = s - 1 ∑ k = 0 ∞ - 1 2 k s - 2 k

Entã0:

1   +   s 2 - 1 / 2   =   s - 1 1   +   s - 2 - 1 / 2 = ∑ k = 0 ∞ - 1 k . 2 k - 1 ‼ 2 k k ! s - 2 k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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