Enunciado

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 0   ; y 0 = 2   e   y ' 0 = - 1

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 0   ; y 0 = 2   e   y ' 0 = - 1

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :

L y ' = f ' t = s f s - f ( 0 )

E também :

L y ' ' = f ' ' t = s 2 f s - s f 0 - f ' ( 0 )

E :

L y = f t = f ( s )

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Considerando o nosso PVI:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 0  

Aplicamos Laplace:

L { y ' ' } + 2 L { y ' } + 5 { y } = L { 0 }

Vamos transformar o domínio t em domínio s . Substistuindo pelos valores de Laplace, teremos:

s 2 f s - s f 0 - f ' 0 + 2 [ s f s - f 0 ] + 5 f s = 0

Substituindo as condições de contorno onde : y 0 = 2 = f ( 0 ) e y ' 0 = - 1 = f ' ( 0 ) .

s 2 f s - s . 2 + 1 + 2 [ s f s - 2 ] + 5 f s = 0

Reorganizando:

s 2 f s - 2 s + 1 + 2 s f s - 4 + 5 f s = 0

Isolando os termos que possuem f s em comum:

f s s 2 + 2 s + 5 - 2 s - 3 = 0

Reorganizando, temos:

f s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 3

Podemos reorganizar a equação como :

f s s + 1 2 + 4 = 2 s + 3

Isolando f ( s ) :

f s = 2 s + 3 s + 1 2 + 4

Podemos escrever 2 s + 3 = 2 s + 1 + 1 , substitundo:

f s = 2 s + 1 + 1 s + 1 2 + 4

Separando em frações parciais, temos:

f s = 2 s + 1 s + 1 2 + 4 + 1 s + 1 2 + 4

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 3

Podemos usar a transformação inversa de Laplace. Dessa forma:

L - 1 f s = f ( t )

Só para termos de substituição, usaremos a transformação que diz que:

e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Aplicando na primeira parte da equação onde a = - 1 e b = 2 :

2 s + 1 s + 1 2 + 4 = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Logo:

2   e a t cos ⁡ b t = 2 s - a s - a 2 + b 2

Substituindo os valores, temos:

2 e - t cos ⁡ 2 t = 2 s + 1 s + 1 2 + 4

Para lidar com a outra parte da equação, temos:

e a t sen ⁡ b t = b ( s - a 2 + b 2 )

Então:

1 s + 1 2 + 4

Assim, b = 2 e a = - 1 , uma coisa importante é que b no numerador é metade do valor de b fornecido, então multiplicamos a equação por 1 2 para garantir a proporcionalidade.

e a t sen ⁡ b t = b ( s - a 2 + b 2 )

Assim:

1 2 e - t sen ⁡ 2 t = 1 2 . 2 ( s + 1 2 + 2 2 ) = 1 s + 1 2 + 4

Dessa forma, nossa função f ( s ) é:

f s = 2 s + 1 s + 1 2 + 4 + 1 s + 1 2 + 4

Então, f ( t ) é dado por:

f t = 2 e - t cos ⁡ 2 t + 1 2 e - t sen ⁡ 2 t

Reorganizando:

f t = e - t 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 sen ⁡ 2 t

Resposta

f t = e - t 2 cos ⁡ 2 t + 1 2 sen ⁡ 2 t

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