Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 16

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :

E também :

E :

Com essas considerações, vamos sair do domínio de para o domínio de , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de .

Passo 2

Considerando o nosso PVI:

Aplicamos Laplace:

Vamos transformar o domínio em domínio . Substistuindo pelos valores de Laplace, teremos:

Substituindo as condições de contorno onde : e .

Reorganizando:

Isolando os termos que possuem em comum:

Reorganizando, temos:

Podemos reorganizar a equação como :

Isolando :

Podemos escrever , substitundo:

Separando em frações parciais, temos:

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de para .

Passo 3

Podemos usar a transformação inversa de Laplace. Dessa forma:

Só para termos de substituição, usaremos a transformação que diz que:

Aplicando na primeira parte da equação onde e :

Logo:

Substituindo os valores, temos:

Para lidar com a outra parte da equação, temos:

Então:

Assim, e , uma coisa importante é que no numerador é metade do valor de fornecido, então multiplicamos a equação por para garantir a proporcionalidade.