Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 16
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vamos considerar a nossa EDO como:
Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :
E também :
E :
Com essas considerações, vamos sair do domínio de para o domínio de , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de .
Passo 2
Considerando o nosso PVI:
Aplicamos Laplace:
Vamos transformar o domínio em domínio . Substistuindo pelos valores de Laplace, teremos:
Substituindo as condições de contorno onde : e .
Reorganizando:
Isolando os termos que possuem em comum:
Reorganizando, temos:
Podemos reorganizar a equação como :
Isolando :
Podemos escrever , substitundo:
Separando em frações parciais, temos:
Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de para .
Passo 3
Podemos usar a transformação inversa de Laplace. Dessa forma:
Só para termos de substituição, usaremos a transformação que diz que:
Aplicando na primeira parte da equação onde e :
Logo:
Substituindo os valores, temos:
Para lidar com a outra parte da equação, temos:
Então:
Assim, e , uma coisa importante é que no numerador é metade do valor de fornecido, então multiplicamos a equação por para garantir a proporcionalidade.
Assim:
Dessa forma, nossa função é:
Então, é dado por:
Reorganizando: