A equação de Legendre de ordem é:

A solução dessa equação perto do ponto ordinário foi discutida nos Problemas 22 e 23 da Seção 5.3. O Exemplo 4 da Seção 5.4 mostrou que são pontos singulares regulares. a) Determine a equação indicial e suas raízes para o ponto

b) Encontre a solução em série de potências de para .

Sugestão: Escreva e . Outra maneira é fazer a mudança de variável e determinar a solução em série de potências de .

Agora usamos a relação para a equação indicial:

E substituímos e :

As raízes serão:

b) Fazendo a substituição sugerida no enunciado , e nossa equação de Legendre fica:

E agora podemos usar uma solução em série do tipo:

E suas derivadas:

Na equação.

Vai ficar:

Resolvendo os produtos:

Juntando algumas séries:

Ao ajustarmos o segundo somatório, precisamos pôr um termo para fora:

Reescrevendo:

Como cada coeficiente deve ser zero para satisfazer a igualdade para todo , então:

Para a relação de recorrência, vamos usar os termos de dentro da série:

Isolando :

Com a raiz :

Mudando os índices de para :

Escrevendo em relação a a gente tem:

E agora é só substituir na nossa solução junto com a raiz que achamos:

Voltando para a variável :

Agora para a outra solução, usamos a raiz :

Subtraindo em todos os :

Escrevendo em termos de fica:

Substituindo na nossa solução :

Voltando para a variável :

Repare que omitimos nas duas soluções