Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

10. x 2 y ' ' + x 2 + 1 4 y = 0

Passo 1

a) Bom, para x = 0 vemos que o primeiro termo da equação zera, isso significa que é um ponto singular, para mostrarmos que ele é regular, precisamos fazer o seguinte, reescrever a equação do jeito:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Sendo que:

P x = x 2

Q x = 0

R x = x 2 + 1 4

E dividir tudo por P ( x ) :

y ' ' + + R x P x y = 0

Agora temos uma razão onde o denominador é o que está trazendo problema para a gente, vamos multiplicar a equação toda por x 2 , e aplicar o limite nessa razão:

x 2 y ' ' + x 2 R x P x y = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x

Se o limite divergir, a singularidade é irregular, se não, é regular:

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + 1 4 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 1 4 = 1 4

Já que o limite é finito, nosso ponto é regular.

Passo 2

b) A equação indicial, suas raízes e a equação de recorrência saem da própria equação diferencial, vamos usar então uma solução por série:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

E suas derivadas:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

A equação vai ficar assim:

x 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2 + x 2 + 1 4 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Colocando os produtos para dentro:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 2 + 1 4 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

A gente pode ver que tem um termo com expoente r + n + 2 , quando n = 0 , esse expoente já começa em r + 2 , então podemos deslocar o índice do somatório para:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x r + n + 1 4 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

E agora está tudo em termos de x r + n .

Precisamos também escrever todos os somatórios com o mesmo índice, para isso deslocamos os outros também, só que no caso deles, precisaremos expressar por fora da soma os termos que a gente desconsiderou, para manter a igualdade valida:

a 0 r r - 1 + 1 4 x r + a 1 r + 1 r + 1 4 x r + 1 + ∑ n = 2 ∞ a n r + n r + n - 1 + 1 4 a n + a n - 2 x r + n   = 0

Passo 3

Já que a equação precisa satisfazer a igualdade, ou seja, precisa ser igual a zero para todos os x , a única maneira disso ser verdade é se os coeficientes forem zero, ou seja:

a 0 r r - 1 + 1 4 = 0

a 1 r + 1 r + 1 4 = 0

a n r + n r + n - 1 + 1 4 a n + a n - 2 = 0

Veja que, as raízes dos polinômios de r no interior das duas primeiras equações são:

r r - 1 + 1 4 = 0

r 2 - r + 1 4 = 0

r 1 = r 2 = 1 2

E:

r r + 1 + 1 4 = 0

r 2 + r + 1 4 = 0

r 1 = r 2 = - 1 2

Portanto, pra que as três equações sejam iguais a zero, a escolha de um dos coeficientes deve ser zero!

Se não as duas equações não serão simultaneamente nulas! Mas olha só a boa notícia! Como as duas raízes diferem por um inteiro, não vamos precisar fazer a letra d ! Vamos considerar somente o primeiro caso, ok?

Passo 4

Agora podemos usar elas para achar a relação de recorrência. Pelo mesmo argumento que a gente usou antes, o somatório precisar satisfazer a equação, e a única maneira é se os coeficientes forem zero, então:

a n r + n r + n - 1 + 1 4 a n + a n - 2 = 0

Isolando a n :

a n = - a n - 2 r + n r + n - 1 + 1 4

Substituindo a raiz r = 1 2 , ficamos:

a n = - a n - 2 n 2

Como nesse caso, o termo a 1 = 0 e todos os coeficientes que dependerem dele, serão zero, então todos os coeficientes impares zeram. Vamos então substitui n por 2 k para que k possa correr todos os números ao invés de só os pares k = 1 ,   2 ,   3 …   . Nossa relação fica:

a 2 k = - a 2 k - 2 4 k 2

Aplicando a recorrência:

a 2 = - a 0 4 1 ∙ 1 2

a 4 = + a 0 4 2 ∙ 1 ∙ 2 2

a 6 = - a 0 4 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 2

Etc... Achamos então a relação:

a 2 k = - 1 k a 0 4 k k ! 2

E nossa solução é:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2

y x = ∑ k = 0 ∞ a 2 k x 2 k + 1 2

y x = a 0 x 1 2 + ∑ k = 1 ∞ a 2 k x 2 k + 1 2

y x = a 0 x 1 2 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k a 0 4 k k ! 2 x 2 k + 1 2

E ta na mão!

Resposta

  1. Demonstrado no passo 1
  2. C o n s i d e r a n d o   s o m e n t e   o   c a s o   d a   m a i o r   r a i z :   r 2 - r + 1 4 = 0 r 1 = r 2 = 1 2 a 2 k = - 1 k a 0 4 k k ! 2 ;   k ≥ 1
  3. y x = a 0 x 1 2 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k a 0 4 k k ! 2 x 2 k + 1 2
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