Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 1
Em cada um dos problemas de 1 a 4, mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em , e determine duas soluções para .
Passo 1
Sendo a nossa equação:
A partir da equação dada podemos dizer que: , e
Onde o único ponto singular é
Aplicando nas condições de singularidade, teremos:
E também:
Como ambos são finitos é um ponto singular regular da equação diferencial fornecida. Como e , a equação indical correspondente é:
Isso significa que temos duas raízes nulas onde e .
Passo 2
Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:
Os coeficientes , além de , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de
Onde:
E:
Respectivamente, conseguimos dizer que:
Fatorando , teremos:
Com o primeiro par de elementos:
Por indução matemática, a primeira solução é:
Passo 3
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Como é um número inteiro, pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:
Onde:
Como e:
Nós temos:
Tendo determinado , substituímos na equação diferencial os valores para :
Nós também diferenciamos uma vez:
Passo 4
Substituindo nas equações, nós temos que:
Reorganizando teremos:
Mais uma vez:
E por fim:
Passo 5
Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:
Por indução matemática, se , podemos calcular os demais termos:
Podemos generalizar como:
Assim, a segunda solução será: