Os Problemas 32 e 33 tratam do circuito elétrico pelo sistema de equações diferenciais dado no Problema 21 da Seção 7.1 :

32- (a) Encontre a solução geral da Eq. (i) se R1 = 1 Ω, R2 = 3 / 5 Ω, L = 2 H e C = (2 / 3) F

(b) Mostre que I(t) → 0 e V(t) → 0 quando t → infinito , independente dos valores iniciais I(0) e V(0) .

Passo 1

O melhor passo aqui é substituir os valores que nos foi dado e fazer:

x = I V

Então:

x ' = - 1 2 - 1 2 3 2 - 5 2 x

Agora encontrando o auto valor teremos:

1 2 d e t - 1 2 - r - 1 2 3 2 - 5 2 - r = 0

- 1 2 - r - 5 2 - r + 3 4 = 0

r 2 + 5 2 + 1 2   r + 5 4 + 3 4 = 0

r 2 + 3 r + 2 = 0

Cujas raízes (resultados dos autovalores) serão:

r 1 = - 2 ; r 2 = - 1

Passo 2

Agora para encontrar os autovetores, começando para r 1 = - 2 :

- 1 2 + 2 - 1 2 3 2 - 5 2 + 2 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

- 3 2 - 1 2 3 2 - 1 2 ξ 1 1 ξ 2 2 = 0

Nessa teremos a relação entre ξ igual a:

3 ξ 1 1 = ξ 2 1

O que nos dá um auto vetor igual a:

ξ 1 = 1 3

Então a solução será:

x 1 = c 1 1 3 e - 2 t

Passo 3

Agora para r = - 1 teremos o autovetor ξ 2 :

- 1 2 + 1 - 1 2 3 2 - 5 2 + 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Logo:

1 2 - 1 2 3 2 - 3 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Então a relação nos dará o autovetor:

ξ 2 = 1 1

E a solução será:

x 2 = c 2 1 1 e - t

Logo a solução geral da solução será:

x = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

Mas como x = I V então temos:

I V = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

Passo 4

Como os expoentes são negativos (por conta dos autovalores) isso é e - t e e - 2 t , então quando t → ∞ toda a solução tenderá a zero. Isso independentemente do valor de c 1 e de c 2 ,

Resposta

a )   I V = c 1 1 3 e - 2 t + c 2 1 1 e - t

b )   E x p l i c a ç ã o   d o   P a s s o   4

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