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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 21

Em cada um dos Problemas 21 e 22, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t > 0.

t x ' = - 1 - 1 2 - 1 x

Passo 1

Pela questão 19 da seção passada vimos que a solução para esse sistema estará na forma de:

x = ξ t r

Então vamos encontrar os autovalores:

d e t - 1 - r - 1 2 - 1 - r = 0

- 1 - r 2 + 2 = 0

r 2 + 2 r + 1 + 2 = 0

r 2 + 2 r + 3 = 0

Resolvendo as raízes dessa equação nós teremos:

r 1 ; r 2 = - 2 ± 4 - 4 × 3 2 = - 1 ± 2 i

Passo 2

Calculando o autovetor de r = - 1 - 2 i , nós teremos:

- 1 + 1 + 2 i - 1 2 - 1 + 1 + 2 i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

2 i - 1 2 2 i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Onde conseguimos ver uma relação entre ξ s igual a:

2 i ξ 1 1 = ξ 2 1

ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1 = 1 2 i

Então uma solução seria:

x 1 = 1 2 i   t - 1 + 2 i

Só que o macete está que podemos enxergar t a i = e a i l n   t

Então:

x 1 = 1 2 i t - 1   t - 2 i

x 1 = 1 2 i t - 1   e - 2 i ln ⁡ t

x 1 = t - 1 1 2 i ( cos ⁡ ( 2 ln ⁡ t ) - i s e n   2 ln ⁡ t )

Arrumando teremos:

x 1 = t - 1 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ t ) 2 s e n ( 2 ln ⁡ t ) + i t - 1 s e n ( 2 ln ⁡ t ) 2 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ t )

Então a solução geral para esse sistema pode ser:

x = t - 1 c 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ t 2 s e n ( 2 ln ⁡ t ) + c 2 s e n ( 2 ln ⁡ t ) 2 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ t )

Resposta

x = t - 1 c 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ t 2 s e n ( 2 ln ⁡ t ) + c 2 s e n ( 2 ln ⁡ t ) 2 cos ⁡ ( 2 ln ⁡ t )

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