Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 23

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ' ' + 2 y ' + y = 4 e - t   ; y 0 = 2   e   y ' 0 = - 1

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ' ' + 2 y ' + y = 4 e - t   ; y 0 = 2   e   y ' 0 = - 1

Utilizando a tabela de transformação de Laplace, podemos dizer que :

L y ' = f ' t = s f s - f ( 0 )

E também :

L y ' ' = f ' ' t = s 2 f s - s f 0 - f ' ( 0 )

E :

L y = f t = f ( s )

L e a t = 1 s - a

L t n e a t = n ! s - a n + 1

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Considerando o nosso PVI:

y ' ' + 2 y ' + y = 4 e - t

Aplicamos Laplace:

L { y ' ' } + 2 L { y ' } + L { y } = 4 L { e - t }

Vamos transformar o domínio t em domínio s . Substistuindo pelos valores de Laplace,

teremos:

s 2 f s - s f 0 - f ' 0 + 2 s f s - f 0 + f s = 4 s + 1

s 2 f s - s . 2 - - 1 + s . f s - 2 + f s = 4 s + 1

s 2 f s - 2 s + 1 + 2 s . f s - 4 + f s = 4 s + 1

f s s 2 + 2 s + 1 - 2 s + 1 - 4 = 4 s + 1

f s = 4 ( s + 1 ) ( s 2 + 2 s + 1 ) + 2 s + 3 s 2 + 2 s + 1

Podemos chamar s 2 + 2 s + 1 = s + 1 2 .

f s = 4 s + 1 3 + 2 s + 3 s + 1 2

Precisamos decompor o segundo termo da equação em dois, utilizando o método das frações parciais, para porder enquadrar em uma equação da transformação inversa de Laplace. Considere :

2 s + 3 s + 1 2 = A s + 1 + B s + 1 2

Então:

2 s + 3 = A s + 1 + B

2 s + 3 = A s + A + B

Juntando termos em comum:

2 s = A s

A = 2

E também:

A + B = 3

B = 1

Então:

2 s + 3 s + 1 2 = 2 s + 1 + 1 s + 1 2

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Onde :

f s = 4 s + 1 3 + 2 s + 1 + 1 s + 1 2

Passo 3

Aplicando na fórmula de transformação inversa de Laplace, podemos dizer que:

L t n e a t = n ! s - a n + 1

Se a = - 1 e n = 1 e 2!

Aplicando , teremos, chamando s + 1 = t

L - 1 4 t 3 + 2 t + 1 t 2 = 2 t 2 + 2 + t

Baseado nas propriedades de transformação de Laplace, temos que ter t n . e a t :

f t = 2 t 2 e - t + t e - t + 2 e - t

Resposta

f t = 2 t 2 e - t + t e - t + 2 e - t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t e a t sen ⁡ b t
Seja F s = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t É possível mostrar que, enquantofsatisfizer as condições doTeorema 6.1.2, é possível diferenciar sob o sinal de integral em relação ao parâmetrosquando sa .(a) Mostre
Considere a equação de Bessel de ordem zero t y ″+y '+t y=0 . Lembre, daSeção 5.7, de que t=0 é um ponto singular regular para essa equação e, portanto, as soluções podem se tornar ilimitadas quando t
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t 2 sen ⁡ b t
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ' ' + 2 y ' + 5 y = 0; y 0 = 2ey ' 0 = - 1