Por um procedimento semelhante ao do Problema 28, mostre que a solução do problema de valores de contorno

- y ' ' + y = f x ,   y 0 = 0 ,   y 1 = 0

é

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x , s f s d s

onde

G x , s = s e n   s   s e n ( 1 - x ) s e n   1 ,   0 ≤ s ≤ x s e n   x n   s e n ( 1 - s ) s e n   1 ,   x ≤ s ≤ 1 .

Passo 1

Primeiramente escreveremos a EDO na forma

y ' ' + y = - f x

A solução para esse caso nos é dado por

y 1 = cos ⁡ x   e   y 2 = s e n   x

O wronskiano é então igual à

W c o s x ,   s e n x = 1

Aplicando o método da variação de parâmetros, a solução parcial nos é dada por

Y x = y 1 x u 1 x + y 2 x u 2 x

onde

u 1 x = ∫ 0 x s e n s f s d s   e   u 2 x = - ∫ 0 x cos ⁡ s f s d s

Com isso a solução geral nos é dada por

y = ϕ x = c 1 c o s x + c 2 s e n x + c o s x ∫ 0 x s e n s f s d s - s e n ∫ 0 x cos ⁡ s f s d s

Passo 2

Aplicando as condições de contorno encontramos c 1 = 0 , logo

c 2 s e n 1 + c o s 1 ∫ 0 1 s e n s f s d s - s e n 1 ∫ 0 1 cos ⁡ s f s d s = 0

Isso nos dá então eu

c 2 = 1 s e n 1 ∫ 0 1 s e n 1 - s f s d s ,

Teremos ainda que

ϕ x = s e n x s e n 1 ∫ 0 1 s e n 1 - s f s d s - ∫ 0 x s e n x - s f s d s

Passo 3

Usanso identidades temos

s e n x s e n 1 - s - s e n 1 s e n x - s = s e n s s e n 1 - x

Então:

s e n x s e n 1 - s s e n 1 - s e n x - s = s e n s s e n 1 - x s e n 1

Separando a primeira integral nós obtemos

ϕ x = ∫ 0 x s e n s s e n 1 - x s e n 1 f s d s + ∫ 0 1 s e n x s e n 1 - s s e n 1 f s d s

= ∫ 0 1 G x , s f s d s

Onde

G x , s = s e n   s   s e n ( 1 - x ) s e n   1 ,   0 ≤ s ≤ x s e n   x n   s e n ( 1 - s ) s e n   1 ,   x ≤ s ≤ 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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