Para cada um dos problemas de valor inicial a seguir, use os resultados do Problema 29 para encontrar a equação diferencial satisfeita por  Y(s) = £ { ϕ(t) } , em que  y = φ(t) é a solução do problema de valor inicial dado.

(a) y'' - t y = 0; y(0) = 1, y'(0) = 0 (equação de Airy)

(b)(1 - t^2)y'' - 2ty' + α(α + 1)y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1 (equação de Legendre)

Note que a equação diferencial para  Y(s) é de primeira ordem no item (a), mas é de segunda ordem no item (b).

Isto ocorre porque t aparece no máximo elevado à primeira potência na equação no item (a), enquanto aparece elevado à segunda potência na equação do item (b). Isso ilustra o fato de que a transformada de Laplace nem sempre é útil para resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis, a menos que todos os coeficientes sejam, no máximo, funções lineares da variável independente.

Passo 1

(a)Usando a transformada de Laplace na EDO dada, podemos dizer que :

L y ' ' - t y = L y ' ' - L t y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + L - t y

Aplicando o PVI:

0 = s 2 Y s - s + Y ' s

s = s 2 Y s + Y ' s

Passo 2

(b) Usando a mesma propriedade, teremos que:

L { ( 1 - t 2 ) y ' ' - 2 t y ' + a a + 1 y }

= L y ' ' - L - t 2 y ' ' + 2 L - t y ' + a ( a + 1 ) L { y }

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - d 2 d s 2 s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 . d d s s Y s - y 0 + a a + 1 Y ( s )

= s 2 Y s - 1 - d d s 2 s Y s + s 2 Y ' s + 2 Y s + s Y ' s + a a + 1 Y s

= - 2 Y s - 4 s Y ' s - s 2 Y ' ' s + 2 Y s + 2 s Y ' s + s 2 + a a + 1 Y s - 1

= - s 2 Y ' ' s - 2 s Y ' s + s 2 + a a + 1 Y s - 1 = 0

Então:

s 2 Y ' ' s + 2 s Y ' s - s 2 + a a + 1 Y s = - 1

Resposta

  1. s = s 2 Y s + Y ' s
  2. s 2 Y ' ' s + 2 s Y ' s - s 2 + a a + 1 Y s = - 1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados