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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 39

Vamos mostrar, nesse problema, como se pode usar uma expansão geral em frações parciais para calcular muitas transformadas de Laplace inversas. Suponha que:

F ( s )   =   P ( s ) / Q ( s )

em que  Q ( s ) é um polinômio de grau n com raízes distintas  r 1 ,   .   .   .   ,   r n ,   e   P ( s ) é um polinômio de grau menor do que n. Nesse caso, é possível mostrar que  P ( s ) / Q ( s ) tem uma expansão em frações parciais da forma

P s Q ( s ) = A 1 s - r 1 + … + A n s - r n

em que os coeficientes  A 1 ,   .   .   .   ,   A n   precisam ser determinados.

  1. Mostre que

    2. A k = P r k Q ' ( r k )           p a r a   k = 1 , … ,   n

    Sugestão: Um modo de fazer isso é multiplicar a Eq. (i) por  s   –   r k  e depois tomar o limite quando  s   →   r k .

  2. Mostre que

L - 1 { F s } = ∑ k = 1 n P r k Q ' ( r k ) e r k t

Passo 1

  1. Sabemos pelo enunciado que :

    2. P s Q ( s ) = A 1 s - r 1 + … + A n s - r n

    Para cada 1 ≤ k ≤ n dado pelo exercício, podemos ter:

    P s Q s ( s - r k ) = A 1 s - r 1 ( s - r k ) + … + A n s - r n ( s - r k )

    Quando nosso valor de Q ( s k ) = 0 nós teremos:

    P s Q s s - r k = P s Q s - Q r k s - r k = P s Q s - Q r k s - r k

    O exercício nos pede para tomar o limite quando s → r k :

    lim s → r k ⁡ P s Q s - Q r k s - r k = l i m s → r k P s l i m s → r k Q s - Q r k s - r k = P r k Q ' ( r k )

    Também vamos tirar o limite de A :

    l i m s → r k A 1 s - r 1 ( s - r k ) + … + A n s - r n ( s - r k )

    = l i m s → r k A 1 s - r 1 ( s - r k ) + … + l i m s → r k A n s - r n s - r k = A k

    Assim:

    A k = P r k Q ' ( r k )

    Passo 2

  2. Para 1 ≤ k ≤ n nos temos :

L - 1 1 s - r k = e r k t

Então L - 1 F s =

L - 1 P s Q s = L - 1 ∑ k = 1 n k s - r k = ∑ k = 1 n A k L - 1 k s - r k = ∑ k = 1 n A k e r k t

Assim :

A k = P r k Q ' ( r k )

Logo:

L - 1 F ( s ) = ∑ k = 1 n P r k Q ' ( r k ) e r k t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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