Vamos mostrar, nesse problema, como se pode usar uma expansão geral em frações parciais para calcular muitas transformadas de Laplace inversas. Suponha que:
em que é um polinômio de grau n com raízes distintas é um polinômio de grau menor do que n. Nesse caso, é possível mostrar que tem uma expansão em frações parciais da forma
em que os coeficientes precisam ser determinados.
- Mostre que
- Mostre que
Sugestão: Um modo de fazer isso é multiplicar a Eq. (i) por e depois tomar o limite quando .
Passo 1
- Sabemos pelo enunciado que :
- Para nos temos :
Para cada dado pelo exercício, podemos ter:
Quando nosso valor de nós teremos:
O exercício nos pede para tomar o limite quando
Também vamos tirar o limite de :
Assim:
Passo 2
Então
Assim :
Logo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)