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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 17

Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.

y ( 4 ) - 4 y ' ' ' + 6 y ' ' - 4 y ' + y = 0   ; y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1 ,   y ' ' 0 = 0   e   y ' ' ' 0 = 1

Passo 1

Vamos considerar a nossa EDO como:

y ( 4 ) - 4 y ' ' ' + 6 y ' ' - 4 y ' + y = 0   ; y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1 ,   y ' ' 0 = 0   e   y ' ' ' 0 = 1

Utilizando a transformação de Laplace, podemos dizer que :

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )  

Então:

L f n t = s n L f t - ∑ k = 0 n - 1 s n - 1 - k f k ( 0 )

Com essas considerações, vamos sair do domínio de t para o domínio de s , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de t .

Passo 2

Aplicando o PVI dado, na fórmula da transformação de Laplace, temos:

y ( 4 ) - 4 y ' ' ' + 6 y ' ' - 4 y ' + y = 0  

Aplicando Laplace, temos:

L { y ( 4 ) - 4 y ' ' ' + 6 y ' ' - 4 y ' + y } = 0  

Então:

L { y ( 4 ) } - 4 L { y ' ' ' } + 6 L { y ' ' } - 4 L { y ' } + L { y } = L { 0 }  

Aplicando na fórmula, teremos:

0 = s 4 f s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' 0 - 4 s 3 f s - s 2 y 0 - s y ' 0 - y ' ' 0 + 6 s 2 f s - s y 0 - y ' 0 - 4 s f s - y 0 + f s

Reorganizando e aplicando as condições dadas, teremos:

0 = s 4 f s - s 2 - 1 - 4 s 3 f s - s + 6 s 2 f s - 1 - 4 s f s + f ( s )

Então, isolando f ( s ) :

0 = f s s 4 - 4 s 3 + 6 s 2 - 4 s + 1 - s 2 + 4 s - 7

Isolando f ( s ) :

f s s 4 - 4 s 3 + 6 s 2 - 4 s + 1 = s 2 - 4 s + 7

Então:

f s = s 2 - 4 s + 7 s 4 - 4 s 3 + 6 s 2 - 4 s + 1

Podemos reescrever como :

f s = s 2 - 4 s + 7 s 4 - 4 s 3 + 6 s 2 - 4 s + 1 = s 2 - 4 s + 7 s - 1 4

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 3

Antes de solucionar e aplicar a transformação inversa de Laplace, vamos encontrar as frações parciais dessa equação:

f s = s 2 - 4 s + 7 s - 1 4 = A s - 1 + B s - 1 2 + C s - 1 3 + D s - 1 4

Vamos igualar:

s 2 - 4 s + 7 = A s - 1 3 + B s - 1 2 + C s - 1 + D

Então, reorganizando por termos em comum:

s 2 - 4 s + 7 = A s 3 - 3 s 2 + 3 s - 1 + B s 2 - 2 s + 1 + C s - 1 + D

Vamos observar a ultima equação encontrada. Como o termo s 3 = 0 no lado esquerdo da igualdade, o termo A (o único que possui s 3 ) torna-se nula. Então A = 0 .

Da mesma forma, o termo s 2 na equação aparece uma única vez, então B = 1 . Combinando os termos semelhantes, teremos:

s 2 - 4 s + 7 = s - 1 2 + C s - 1 + D

- 2 s + 6 = C s - C + D

Separando os termos em comum:

- 2 s = C s

6 = - C + D

Resolvendo temos:

- 2 s = C s

C = - 2

Então:

6 = - - 2 + D

D = 4

Aplicando nas frações parciais, temos:

f s = A s - 1 + B s - 1 2 + C s - 1 3 + D s - 1 4

f s = 1 s - 1 2 - 2 s - 1 3 + 4 s - 1 4

Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de s para t .

Passo 4

Podemos usar a transformação inversa de Laplace. Dessa forma:

L - 1 f s = f ( t )

Temos frações parciais com essa aparência :

1 s - 1 n

Só para termos de substituição, usaremos a transformação que diz que:

1 n - 1 ! t n - 1 . e a t   ,   q u a n d o   n ∈ N

Assim nós obtemos para a = 1   e n = 2 ,   3   e   4 :

f t = 1 2 - 1 ! t 2 - 1 . e t - 2 . 1 3 - 1 ! t 3 - 1 . e t + 4 1 4 - 1 ! t 4 - 1 . e t

Então:

f t = t e t - 2 1 2 ! t 2 e t + 4 3 t 3 e t

Dessa forma:

f t = t e t - t 2 e t + 2 3 t 3 e t

Resposta

f t = t e t - t 2 e t + 2 3 t 3 e t

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