Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 18
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vamos considerar a nossa EDO como:
Utilizando a transformação de Laplace, podemos dizer que :
Então:
Com essas considerações, vamos sair do domínio de para o domínio de , para encontrar equações algébricas fáceis de resolver e por fim, retornamos para o domínio de .
Passo 2
Sendo o nosso PVI:
Aplicando Laplace nos temos dados, teremos:
Então:
Logo, aplicando as condições dadas pelo problema:
Isolando teremos:
Com isso, conseguimos chegar em uma equação. Agora, devemos retornar fazendo a transformação inversa de Laplace, mundando o domínio de para .
Passo 3
Agora, devemos retornar ao domínio de fazendo uma transformação inversa de Laplace, que pode ser dada por:
Se
Resposta
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a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que,
Os problemas de 17 a 22 tratam do efeito de uma sequência de impulsos aplicados em um oscilador não amortecido. Suponha que y ″+y=f( t ) ,y ( 0 )=0 ,y '( 0 )=0 . Para cada uma das escolhas para f ( t
A posição de determinado oscilador ligeiramente amortecido satisfaz o problema de valorInicial y ' ' + 0,1 y ' + y = ∑ k = 1 20 - 1 k + 1 δ t - k π ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 Note que, exceto pelo termo de a
Considere o problema de valor inicial y ' ' +γ y ' +y=k δ ( t–1 ) ,y ( 0 )=0 ,y '( 0 )=0 ,em que k é o tamanho de um impulso em t=1 , e γ é o coeficiente de amortecimento (ouresistência).(a) Seja γ =
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