Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 30

Temperaturas extremas em uma esfera Suponha que a

temperatura em Celsius no ponto (x, y, z) na esfera x2 + y2 +

z2 = 1 seja T = 400xyz2. Localize as temperaturas mais alta e

mais baixa na esfera.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nos é suposto que a temperatura em um ponto ( x , y , z ) sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 é T = 400 x y z 2 . Encontraremos, então, os locais mais quentes e mais frios sobre a esfera. Vamos lá!

Passo 2

Começaremos encontrando os gradientes para as funções para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:

∇ T = 400 y z 2 i + 400 x z 2 j + 800 x y z k ∇ g = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange obteremos:

∇ T = λ ∇ g 400 y z 2 i + 400 x z 2 j + 800 x y z k = λ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k ) .

Separando as componentes:

400 y z 2 = 2 x λ 400 x z 2 = 2 y λ 800 x y z = 2 z λ

Passo 3

Resolvendo esse sistema, encontraremos os pontos (semelhante ao exercício 29 desta mesma seção):

( 0 , ± 1,0 ) , ( ± 1,0 , 0 ) , ± 1 2 , ± 1 2 , ± 2 2

Agora, observe que as temperaturas nestes pontos são:

T ( 0 , ± 1,0 ) = 0 T ( ± 1,0 , 0 ) = 0 T ± 1 2 , ± 1 2 , ± 2 2 = ± 50

Resposta

1 2 , 1 2 , ± 2 2 - 1 2 , - 1 2 , ± 2 2 = 50 , temos a temperatura máxima. 1 2 , - 1 2 , ± 2 2 - 1 2 , 1 2 , ± 2 2 = - 50 ,temos a temperatura mínima.

Exercícios de Livros Relacionados

12. a) A função f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2 Onde x0 ,y0,z0 e a é uma constante positiva. Encontre-ob) Usan
12. a) A função f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2 Onde x0 ,y0,z0 e a é uma constante positiva. Encontre-ob) Usan
11. Encontre o mínimo de f x , y , z = x + y + z na superfície de equação x y z = k Onde x0,y0,z0 Use o resultado para mostrar que x y z 1 / 3 ≤ 1 3 x + y + z x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0
10. Determine a equação do plano que passa por 1,2 , 1 e determina com os planos coordenadas um tetraedro de volume maximo
15. Considere a curva C interseção do cilindro de equação x 2 12 + y 2 16 = 1 Com o plano 2 x + y+ z = 12 Determine as distancias máximas e mínimas dos pontos de C ao plano XY