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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 22

Mínima distância à origem Encontre o(s) ponto(s) na superfície xyz = 1 mais próximo(s) à origem.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, o nosso objetivo é encontrarmos os pontos sobre a superficie x y z = 1 mais próximo da origem. Fique atento aos passos e vamos lá!

Passo 2

Seja f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 o quadrado da distância até a origem. Seu gradiente será então:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Dessa forma, o gradiente da função x y z = 1 é:

∇ g = y z i + x z j + x y k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f = λ ∇ g 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( - y i - x j + 2 z k )

Passo 3

Aqui, vamos separar as componentes, e teremos:

2 x = λ y z 2 y = λ x z 2 z = λ x y

Agora, rearranjando, chegaremos a:

2 x 2 = λ x y z 2 y 2 = λ y x z  Logo:  x 2 = y 2 y = ± x

que leva a z ser z = ± x Voltando em x y z = 1 , temos:

x ( ± x ) ( ± x ) = 1 x = ± 1

Resposta

Portanto, temos quatro pontos possiveis, veja: ( 1,1 , 1 ) , ( 1 , - 1 , - 1 ) , ( - 1 , - 1,1 ) , ( - 1,1 , - 1 ) .

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