Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 31
Maximizando uma função de utilidade: um exemplo da
economia Na economia, a utilidade das quantidades x e y
de dois bens capitais G1 e G2 é algumas vezes medida por uma
função U(x, y). Por exemplo, G1 e G2 poderiam ser duas substâncias químicas que uma empresa farmacêutica necessita ter
em mãos e U(x, y), o ganho a partir da fabricação de um produto cuja síntese requer diferentes quantidades das substâncias químicas, dependendo do processo utilizado. Se G1 custa
a dólares por quilo, G2 custa b dólares por quilo e a quantidade
total alocada para a aquisição de G1 e G2 juntos é c dólares, então os diretores da empresa querem maximizar , dado que . Dessa forma, eles precisam resolver um problema típico de multiplicadores de Lagrange.Suponha que
e que a equação seja simplificada para
Encontre o valor máximo de e os valores correspondentes de e sujeitos a essa última restrição.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício, suponha que e a equação simplifica em . Qual é o valor máximo de e quais os valores de e sujeitos a essas restrições? Vamos lá!
Passo 2
Começaremos encontrando os gradientes para as funções, e então aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:
Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange teremos:
Separando as componentes:
Passo 3
Assim, observamos que:
Voltando, novamente, ao valor de encontrado em , chegamos a:
, levando a .
Resposta
Portanto, o valor da função é o máximo valor possivel de ser assumido com as restrições impostas.