Enunciado

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Passo 1

E aiiiii minha turminha, tudo bem? Vamos lá!

A questão nos fornece uma integral dupla iterada, ou seja, com intervalos de integração. E partir disso devemos esboçar a região de integração e calcular o valor da integral.

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Como vamos fazer isso?

A parte de calcular o valor da integral é a mais fácil desta questão. Pois já está em coordenadas polares, então basta vocês começarem a integrar a função de dentro para fora e aplicar os limites de integração.

Agora, o esboço da região vamos com calma, beleza!

Para esta nossa questão, o valor do raio varia de 0 até 2 s e n ⁡ θ . Para facilitar a identificação do esboço, a função pode ser transformada novamente para coordenadas cartesianas. Sabemos que:

x 2 + y 2 = r 2

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

Sabemos do problema que: r = 2 sin ⁡ θ .

O objetivo é manipular essas equações e determinar a equação do círculo, que vai ficar com essa cara:

x 2 + y - 1 2 = 1

Como nosso ângulo varia de π 2 até π , estamos com nossa região no segundo quadrante.

Com esse bizu monstro, bora colocar mão na massa!!!

Passo 2

Vamos começar determinando nossa região.

Já sabemos pelo formato da integral, que se trata de um círculo:

∫ π 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Onde, o raio varia de:

0 ≤ r ≤ 2 s e n ⁡ θ

Temos as seguintes coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

x = r c o s   θ

y = r s e n   θ

Podemos isolar s e n   θ :

y r = s e n   θ

E temos que:

r = 2 s e n ⁡ θ

Vamos substituir s e n   θ na expressão acima, ficando:

r = 2 y r

r 2 = 2 y

Agora vamos substituir r 2 na equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

Logo, temos:

x 2 + y 2 = 2 y

x 2 + y 2 - 2 y = 0

Completando quadrados, vamos ter a seguinte expressão:

x 2 + y - 1 2 = 1

Observe a expressão. Você concorda que conhecemos essa expressão, que é um círculo de raio 1   que está centrado em x = 0 e y = 1 .

Agora, observe na imagem abaixo, e veja como ela reflete o que acabamos de dizer.

Mas lembra que θ varia de π / 2 até π , o que corresponde a todo o segundo quadrante.

Passo 3

Agora, vamos resolver a nossa integral.

∫ π 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ

Integrando em d r , temos que:

∫ π / 2 π   r 2 2 0 2 sen ⁡ θ d θ

Aplicando os limites de integração, vamos ficar com:

∫ π / 2 π   2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Vamos separar em duas integrais para facilitar:

∫ π 2 π   1 - cos ⁡ 2 θ d θ

∫ π 2 π   1 d θ - ��� π 2 π cos ⁡ 2 θ   d θ

Na segunda integral, aplicamos uma substituição do tipo:

u = 2 θ

d u 2 = d θ

Logo,

∫ π 2 π   1 d θ - ∫ π 2 π cos ⁡ u d u 2

Integrando e voltando para θ :

θ - sen ⁡ 2 θ 2 π 2 π

Aplicando os limites de integração, vamos ter como resposta:

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = π 2

Resposta

∫ π / 2 π   ∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ = π 2

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