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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 41

Calcular a área delimitada pela hipociclóide

{[[x = 4 sen^3 t],[y = 4 cos^3 t]])

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região delimitada pela hipociclóide:

Passo 2

A área de uma região delimitada pela hipociclóide é dada pela seguinte equação:

A = int_(t_0)^t y (t) * x ' ( t ) d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x^' = 12 s e n^2 t * cos t

Passo 3

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região delimitada pela hipociclóide, temos:

A = int_0^(2 pi) 4 cos^3 t * 12 s e n^2 t * cos t d t = 48 int_0^(2 pi) cos^4 t * s e n^2 t d t

A = 48 int_0^(2 pi) cos^4 t * ( 1 - cos^2 t ) d t = 48 int_0^(2 pi) ( cos^4 t - cos^6 t ) d t

Integrando:

A = 48 [(3)/(8) t - (1)/(6) cos^3 t * s e n t - (3)/(32) s e n 4 t - (1)/(6) cos^5 t * s e n t - (5)/(64) (4 t - s e n 4 t)]

Aplicando os limites, temos:

A = 48 ((3 pi)/(4) - 0 - 0 - 0 - (5 pi)/(8) + 0) = (48 (6 pi - 5 pi))/(8) = (48 pi)/(8) = 6 pi

Resposta

6 pi u . a

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Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distância de F 1 a F 2 . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que P F 1 - ⋅ P F 2 - = k 2 denomina-se lemniscata de focos F