Calcular a área da elipse x^2 + 4y^2 - 4x = 0 .

Passo 1

A área se dá pelo seguinte gráfico:

Passo 2

A equação da área se dá:

A = ∬ d A

Utilizando as informações obtidas, temos:

x 2 + 4 y 2 - 4 x = 0

x - 2 2 + 4 y 2 = 4

x - 2 2 4 + y 2 = 1

Então, vamos utilizar de transformações para facilitar a resolução:

x - 2 = 2 u e y = v

J = 2 0 0 1 = 2

Assim, a equação da área fica:

A = ∬ d A = ∬ 2 d u d v

Passo 3

Agora, passaremos para coordenadas polares:

A = ∬ 2 d u d v = ∬ 2   r d r d θ

Ao realizarmos essas transformações, temos uma circunferência centrada na origem de raio igual a 1, então:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ

Passo 4

Integrando para r :

∫ 0 1 2 r d r = r 2

Aplicando os limites:

( 1 - 0 ) = 1

Passo 5

Integrando para θ :

∫ 0 2 π d θ = θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 = 2 π

Resposta

2 π   u . a .

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