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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6p

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (sqrt(1 + y^3)) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (sqrt(1 + y^3)) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (sqrt(1 + y^3)) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que os intervalos se darão por:

0 <= x <= y^2

E

0 <= y <= 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_0^1 [int_(x = 0)^(x = y^2) (sqrt(1 + y^3)) d x] d y

F = int_0^1 sqrt(1 + y^3) [x] | [[x,=,y^2],[x,=,0]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_0^1 [y^2 sqrt(1 + y^3)] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , através do método da substituição simples com u = 1 + y^3 e d u = 3 y^2 d y :

F = [int sqrt(u) ((d u)/(3))] | [[y,=,1],[y,=,0]]

F = [(1)/(3) ((2)/(3) u^(3 // 2))] | [[y,=,1],[y,=,0]]

Voltando para a variável original:

F = [(1)/(3) ((2)/(3) (1 + y^3)^(3 // 2))] | [[y,=,1],[y,=,0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = (2)/(9) [(1 + 1)^(3 // 2) - 1]

F = (2)/(9) [2 sqrt(2) - 1]

Resposta

(2)/(9) [2 sqrt(2) - 1]

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