Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B 1 + y 3 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y 1 + y 3 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x 1 + y 3 d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que os intervalos se darão por:

0 ≤ x ≤ y 2

E

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ x = 0 x = y 2 1 + y 3 d x d y

F = ∫ 0 1 1 + y 3 x | x = y 2 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 0 1 y 2 1 + y 3 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , através do método da substituição simples com u = 1 + y 3 e d u = 3 y 2 d y :

F = ∫ u d u 3 | y = 1 y = 0

F = 1 3 2 3 u 3 / 2 | y = 1 y = 0

Voltando para a variável original:

F = 1 3 2 3 1 + y 3 3 / 2 | y = 1 y = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 2 9 1 + 1 3 / 2 - 1

F = 2 9 2 2 - 1

Resposta

2 9 2 2 - 1

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