Calcular a área região delimitada pela curva

x^(2/3) + y^(2/3) = 1

Passo 1

A área se dá pelo seguinte gráfico:

Passo 2

A equação da área se dá:

A = ∬ d A

Vamos utilizar de transformações para facilitar a resolução:

x 1 3 = u e y 1 3 = v

J = 3 u 2 0 0 3 v 2 = 9 u 2 v 2

Assim, a equação da área fica:

A = ∬ d A = ∬ 9 u 2 v 2 d u d v

Passo 3

Agora, passaremos para coordenadas polares:

A = ∬ 9 u 2 v 2 d u d v = ∬ 9 r 4 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ ⋅   r d r d θ = ∬ 9 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ d r d θ

Ao realizarmos essas transformações, temos uma circunferência centrada na origem de raio igual a 1, então:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 9 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ d r d θ

Passo 4

Integrando para r :

∫ 0 1 9 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ d r = 9 6 r 6 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ

Aplicando os limites:

1 - 0 ⋅ 9 6 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ = 3 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ

Passo 5

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 3 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2   θ d θ = 3 16 θ - 3 64 s e n   4 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 ⋅ 3 16 - s e n   8 π - s e n   0 ⋅ 3 64 = 3 π 8

Resposta

3 π 8   u . a .

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