Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Para tanto, deve ser analisado o que foi dado:

x 2 + y 2 - 2 y = 0 → x 2 + y - 1 2 = 1

Que representa a equação de um círculo de raio r = 1 , mas o conjunto limita à metade direita do círculo.

Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 + 1 - x 2

Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y - 1 = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Então as novas variáveis serão dadas por:

Para x 2 + y 2 - 2 y = 0 → ρ 2 c o s 2 θ + 1 + 2 ρ s e n θ + ρ 2 s e n 2 θ - 2 - 2 ρ s e n θ = 0

∴ - 1 ≤ ρ ≤ 1

E:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1   e - π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x y   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ c o s θ 1 + ρ s e n θ   ρ d ρ d θ

= ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 1 ρ 2 c o s θ + ρ 3 s e n θ c o s θ d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ - π / 2 π / 2 ρ 3 3 c o s θ + ρ 4 4 s e n θ c o s θ | 1 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

∫ - π / 2 π / 2 1 3 c o s θ + 1 4 s e n θ c o s θ d θ

Passo 4

A segunda integral pode ser resolvida através do método da substituição simples com u = s e n θ e d u = c o s θ d θ , tal que:

Quando θ = π 2 → u = 1

Quando θ = - π 2 → u = - 1

Então:

1 4 ∫ u d u 1 - 1 = 1 8 u 2 1 - 1 = 0

Visto que a integral do segundo termo é nulo, logo:

= 1 3 s e n θ | π / 2 - π / 2 + 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 3 s e n π 2 - s e n - π 2 = 2 3

Resposta

2 3

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