Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2h
Calcule
Passo 1
Neste caso, o conjunto deve ser determinado antes de tudo. Para tanto, deve ser analisado o que foi dado:
Que representa a equação de um círculo de raio , mas o conjunto limita à metade direita do círculo.
Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:
Então, fazendo:
Pretende-se determinar o resultado da transformação:
Dada por:
Então:
Portanto:
Passo 2
Agora, deve se determinar o conjunto , onde . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.
Então as novas variáveis serão dadas por:
Para
E:
Dessa forma, tem-se:
Passo 3
Logo, mudando a variável na integral dupla:
E, resolvendo-a:
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 4
A segunda integral pode ser resolvida através do método da substituição simples com e , tal que:
Quando
Quando
Então:
Visto que a integral do segundo termo é nulo, logo:
Substituindo o intervalo de integração: