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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1k

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é 1 // 8 de um círculo de raio r = 1 como mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

0 <= rho <= 1

E

(pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 e (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (y^2) d x d y = int int_B_rho theta (rho^2 s e n^2 theta) rho d rho d theta

int_(pi // 4)^(pi // 2) [int_0^1 (rho^3 s e n^2 theta) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

int_(pi // 4)^(pi // 2) s e n^2 theta [(rho^4)/(4)] | [[1],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_(pi // 4)^(pi // 2) [(1)/(4) s e n^2 theta] d theta

Passo 4

Lembrando a identidade trigonométrica

s e n^2 (n x) = (1 - cos (2 n x))/(2)

Então:

= (1)/(4) int_(pi // 4)^(pi // 2) [((1 - cos (2 theta))/(2))] d theta

= (1)/(8) int_(pi // 4)^(pi // 2) [1 - cos (2 theta)] d theta

= (1)/(8) [theta - (s e n (2 theta))/(2)] | [[pi,//,2],[pi,//,4]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(8) [((pi)/(2) - (pi)/(4)) - (1)/(2) (s e n (pi) - s e n ((pi)/(2)))] = (1)/(8) [(pi)/(4) + (1)/(2)]

= (1)/(16) [(pi)/(2) + 1]

Resposta

(1)/(16) [(pi)/(2) + 1]

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