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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 2g

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B já é dado por:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= cos (2 theta) e - (pi)/(8) <= theta <= (pi)/(4)}

Além disso, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B d x d y = int int_B_rho theta rho d rho d theta

= int_(- pi // 8)^(pi // 4) [int_0^(cos (2 theta)) (rho) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_(- pi // 8)^(pi // 4) [(rho^2)/(2)] | [[cos (2 theta)],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(2) int_(- pi // 8)^(pi // 4) [c o s^2 (2 theta)] d theta

Lembrando que:

c o s^2 (n x) = (1)/(2) [1 + cos (2 n x)]

Tem-se que:

= (1)/(2) int_(- pi // 8)^(pi // 4) [(1 + cos (4 theta))/(2)] d theta = (1)/(4) int_(- pi // 8)^(pi // 4) [1 + cos (4 theta)] d theta

Passo 3

Resolvendo a integral:

= (1)/(4) [theta + (s e n (4 theta))/(4)] | [[pi,//,4],[-,pi,//,8]]

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(4) [(pi)/(4) - (- (pi)/(8)) + (s e n (pi))/(4) - (s e n (- (pi)/(2)))/(4)]

Como a função seno é ímpar:

= (1)/(4) [(3 pi)/(8) - ((- s e n ((pi)/(2))))/(4)]

= (1)/(4) [(3 pi)/(8) + (1)/(4)] = (1)/(16) [(3 pi)/(2) + 1]

Resposta

(1)/(16) [(3 pi)/(2) + 1]

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