Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B já é dado por:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ 2 θ   e - π 8 ≤ θ ≤ π 4

Além disso, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ d ρ d θ

= ∫ - π / 8 π / 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ ρ d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ - π / 8 π / 4 ρ 2 2 | cos ⁡ 2 θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ - π / 8 π / 4 c o s 2 2 θ d θ

Lembrando que:

c o s 2 n x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 n x

Tem-se que:

= 1 2 ∫ - π / 8 π / 4 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ = 1 4 ∫ - π / 8 π / 4 1 + cos ⁡ 4 θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral:

= 1 4 θ + s e n 4 θ 4 | π / 4 - π / 8

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 4 π 4 - - π 8 + s e n π 4 - s e n - π 2 4

Como a função seno é ímpar:

= 1 4 3 π 8 - - s e n π 2 4

= 1 4 3 π 8 + 1 4 = 1 16 3 π 2 + 1

Resposta

1 16 3 π 2 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados