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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 37

Calcular a área da região delimitada pela elipse

{[[x = 3 cos t],[y = s e n t]])

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região limitada pela elipse:

Passo 2

A área de uma região delimitada pela elipse é dada pela seguinte equação:

A = int_(t_0)^t y (t) * x ' ( t ) d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x^' = - 3 s e n t

Passo 3

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região delimitada pela elipse, temos:

A = int_0^(2 pi) s e n t * (- 3 s e n t) d t = - 3 int_0^(2 pi) s e n^2 t d t

Integrando:

A = - (3)/(2) t + (3)/(4) s e n 2 t

Aplicando os limites, temos:

A = - (3)/(2) (2 pi - 0) + (3)/(4) (s e n 4 pi - s e n 0) = - 3 pi

Como estamos trabalhando com área, utilizamos o seu módulo:

|A| = 3 pi

Resposta

3 pi u . a

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