Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 42

Calcular a área da região S, hachurada na Figura 8.12.

x = k ( t - s e n   t ) y = k ( 1 - cos ⁡ t )

Passo 1

A área de uma região delimitada pela elipse é dada pela seguinte equação:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' ( t ) d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x ' = k ( 1 - cos ⁡ t )

Passo 2

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região delimitada pela elipse, temos:

A = ∫ 0 2 π k ( 1 - cos ⁡ t ) ⋅ k ( 1 - cos ⁡ t )   d t = k 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 2 d t

A = k 2 ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Passo 3

Integrando:

A = k 2 t - 2   s e n   t + 1 2 cos ⁡ t ⋅ s e n   t + t 2

Aplicando os limites, temos:

A = k 2 2 π - 0 + 0 + π = K 2 3 π = 3 π k 2

Resposta

3 π k 2   u .   a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares b )ρ = sin ⁡ θeρ = 1 - cos ⁡ θ
Ache o centroide da região do exercício 99.
A densidade linear de uma barra com 3m de comprimento num ponto a x m de uma extremidade é k e - 3 xk g / m . Encontre a massa e o centro de massa da barra.
Ache a área da região limitada pelo laço da curva x 2 = y 4( 1 - y 2 ) .
Ache o centro de massa de uma barra com 4m , se a densidade linear num ponto a xm do extremo esquerdo for 9 + x 2k g / m .