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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 1

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - ; y - do centro de massa de D .

D = x ; y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 3 ; 0 ≤ y ≤ 3 - x   ; f x ; y = x 2 + y 2

Passo 1

Faalaa jovem! Vamo entender como que calcula essa tal de massa e centro de massa.

Sem muito segredo o que você deve saber é que a massa de um sistema é igual a integral da densidade; mas perceba que não estamos tratando de volume, pois temos uma superfície e não um sólido. Então nesse caso de R 2 temos que a densidade representa a massa por unidade de área.

Bom, sem mais papo. A massa poderá ser calculada assim:

m = ∬ f x ; y d x d y

Sobre a região D .

Passo 2

Perceba que não será necessário fazer nenhum tipo de substituição de variáveis, muito menos por polares uma vez que nossa região D não é uma circunferência.

Você pode até pensar: “ah mas a f parece com a fórmula de uma circunferência..”

Sim, parece mesmo. Pode até ser que seja. Mas não vem ao caso, porque a integral é feita sobre a superfície D . É ela que importa.

Então, basta substituir os limites da região D :

m = ∫ 0 3 - x ∫ 0 3 x 2 + y 2 d x d y

Perceba que y é dependente de x , isso significa que integrar y nos dará algo em que aparece x .

Portanto precisamos integrar y primeiro, para depois sumir com o x :

m = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 2 + y 2 d y d x

Não esquece de mudar os diferenciais.

Antes de qualquer outra coisa, vamos abrir a soma:

m = ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 2 d y d x   ⏟ I 1 + ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y 2 d y d x ⏟ I 2

Agora sim. Taca-lhe pau:

I 1 = ∫ 0 3 x 2 y 3 - x 0 d x = ∫ 0 3 x 2 3 - x d x = ∫ 0 3 3 x 2 d x - ∫ 0 3 x 3 d x

Portanto:

I 1 = 3 x 3 3 - x 4 4 3 0 = 108 - 81 4 = 27 4

A outra integral:

I 2 = ∫ 0 3 y 3 3 3 - x 0 d x = ∫ 0 3 3 - x 3 3 d x

Repara que podemos chamar u = 3 - x , então d u = - 1 d x

Então, devemos multiplicar e dividir por - 1 :

- 1 - 1 ∫ u 3 3 d x

O - 1 de cima vira o d u :

1 - 3 ∫ u 3 d u = 1 - 3 u 4 4

Devolvendo o valor que substituímos de u :

I 2 = 1 - 3 3 - x 4 4 3 0 = 1 - 3 0 - 3 4 4 = 3 3 4 = 27 4

Ora, então a massa será:

m = I 1 + I 2 = 27 4 + 27 4 = 27 2

Passo 3

Ufa! Acabou né?! Que nada. A verdade é que tem chão ainda.

Falta encontrarmos as coordenadas do centro de massa. Elas serão dadas assim:

x c = ∬ x f x ; y d x d y m                 e                       y c = ∬ y f x ; y d x d y   m

Vamos começar com x c , encontrando a integral:

∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x x 2 + y 2 d y d x

Abrindo essa soma:

∫ 0 3 ∫ 0 3 - x x 3 d y d x ⏟ I 1 + ∫ 0 3 ∫ 3 - x y 2 x d y d x ⏟ I 2

Vamos devagar, etapa por etapa:

I 1 = ∫ 0 3 x 3   y 3 - x 0 d x = ∫ 0 3 x 3 3 - x d x

I 1 = 3 x 4 4 - x 5 5 3 0 = 3 5 4 - 3 5 5 = 5   3 5 - 4   3 5 20 = 3 5 20

E a outra parte:

I 2 = ∫ 0 3 x y 3 3 3 - x 0 d x = ∫ 0 3 x 3 - x 3 3 d x

O que podemos fazer nessa, é abrir aquele negocio ao cubo ali:

3 - x 3 = 3 - x 3 - x 2 = 3 - x 9 - 6 x + x 2

Então:

3 - x 3 = 27 - 27 x + 9 x 2 - x 3

E ai teremos 4 integrais simples:

I 2 = 1 3   ∫ 0 3 27 x d x - ∫ 0 3 27 x 2 d x + ∫ 0 3 9 x 3 d x - ∫ 0 3 x 4 d x

Não esquece de colocar todos os d x , os professores odeiam quando a gente esquece esses carinhas.

I 2 = 1 3 27 x 2 2 - 27 x 3 3 + 9 x 4 4 - x 5 5 3 0

I 2 = 1 3 3 3 3 2 2 - 3 3 3 3 3 + 3 2 3 4 4 - 3 5 5

I 2 = 1 3 3 5 2 - 3 5 + 3 6 4 - 3 5 5 = 3 5 3 1 2 - 1 + 3 4 - 1 5

Finalmente:

I 2 = 3 4 20

Devolvendo lá:

m x c = 3 5 20 + 3 4 20 = 3 5 + 3 4 20

Portanto a coordenada em x :

x c = 3 5 + 3 4 20 27 / 2 = 3 4 ( 3 + 1 ) 20   . 2 3 3 = 12 10 = 6 5

Por último, basta obter a coordenada em y :

∬ y x 2 + y 2 d y d x  

∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y x 2 d y d x + ∫ 0 3 ∫ 0 3 - x y 3 d y d x

Pegou a idéia já né?!

I 1 = ∫ 0 3 x 2 y 2 2 d x = ∫ 0 3 x 2 3 - x 2 2 d x

Não tem jeito, a melhor opção é abrir o quadrado:

I 1 = ∫ 0 3 x 2 9 - 6 x + x 2 d x 2 = 1 2 9 x 3 3 - 6 x 4 4 + x 5 5 3 0

I 1 = 1 2 3 5 3 - 2 3 5 4 + 3 5 5 = 3 5 6 - 3 5 4 + 3 5 10 = 40 3 5 - 60 3 5 + 24 3 5 6 4 10 = 3 5 1 60 = 3 4 20

E a outra etapa:

I 2 = ∫ 0 3 y 4 4 d x = ∫ 0 3 3 - x 4 4 d x

Já vimos esse bagulho doido elevado a quarta:

3 - x 3 - x 3 = 3 - x 27 - 27 x + 9 x 2 - x 3 = 3 4 - 108 x + 5 4 x 2 - 12 x 3 + x 4

Integrando:

I 2 = 1 4 3 4 x - 108 x 2 2 + 5 4 x 3 3 - 12 x 4 4 + x 5 5 3 0

Aplicando os limites:

I 2 = 1 4 3 5 - 54 3 2 + 1 8 3 3 - 3 5 + 3 5 5

I 2 = 3 2 4 3 3 - 54 + 18 3 - 3 3 + 3 3 5

Perceba que vários termos somem:

I 2 = 3 5 20

Portanto:

3 4 20 + 3 5 20 = 3 4 3 + 1 2 0

E a coordenada:

y c = 3 4 ( 4 ) 2 0 27 2 = 6 5

Demorou! Mas saiu!! Até a próxima!

Resposta

Portanto, a massa total do sistema é 27 2 ; e as coordenadas do centro de massa 6 5 ; 6 5 .

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