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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 11

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A ,

onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Vamos lá pessoal, tudo certo? O exercício quer que calculemos em coordenadas polares a seguinte integral:

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A

Sobre uma região R que é parte superior de um semicírculo. O primiro passo, é identificar exatamente qual a região de integração e os limites de integração. Após isso, iremos utilizar as relações de transformação para fazer as alterações necessárias para integral polar.

Veja as relações que iremos utilizar são:

x = r cos ⁡ θ           e         y = r   s e n   θ

Além disso,

x 2 + y 2 = r 2

Ou seja:

x 2 + y 2 = 9

Significa que   r = 3 .

O primeiro passo aqui é desenhar a região de integração:

Passo 2

Vamos então identificar os limites de integração, como estamos considerando apenas a região acima do eixo x , o ângulo polar varia entre

0 ≤ θ ≤ π

Já o raio r varia entre

0 ≤ r ≤ 3

Após isso é só integrar. Vamos começar a execução?

Lembrando que

x = r cos ⁡ θ           e         y = r   s e n   θ

Assim,

x 2 + y 2 = r 2

Passando para coordenadas polares, temos que

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A = ∫ 0 π ∫ 0 3 cos ⁡ r 2 ⋅ r   d r   d θ

Passo 3

Nunca esqueça do jacobiano r quando passamos para coordenadas polares! Como o integrando não depende de θ , podemos fazer a integral nessa variável de cara:

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A = π   ∫ 0 3 cos ⁡ r 2   r   d r

Chamando u = r 2 , temos que

d u = 2 r   d r ⇒ r   d r = d u 2

Além disso, quando r = 0 , temos u = 0 . Já para r = 3 , achamos u = 9 . Assim,

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A = π 2 ∫ 0 9 cos ⁡ u   d u

Fazendo a integral

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A = π 2 s e n   u 0 9 = π 2 s e n   9 - s e n   0

Logo,

∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2   d A = π 2   s e n   9

Resposta

π 2   s e n   9

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