Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , y   d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Passo 1

Fala ai galera. A questão pede pra identificar que tipo de sistema de coordenadas é melhor para calcular a integral sobre a região dada e escrever a integral.

Note que a região é um trecho de círculo, de modo que é mais simples usar coordenadas polares. Lembrando que para coordenadas polares a integral vai ficar com essa cara aqui:

∫ θ 1 θ 2   ∫ r 1 r 2 f r , θ   r   d r   d θ ,

onde:

f r , θ = f ( r c o s   θ   ,   r   s e n   θ )

Então o próximo passo é identificar quais são os intervalos de r e θ , ou seja, qual maior e menor valor que cada um poderá adotar. Cuidado, o valor de r está relacionado apenas com o raio do círculo e não os pontos que ele intercepta.

Como o raio do disco é 4 , devemos ter 0 ≤ r ≤ 4 e para o ângulo polar, devemos ter 0 ≤ θ ≤ 3 π / 2 de modo a varrer os três primeiros quadrantes. Vamos relembrar os ângulos da circunferência:

Passo 2

Escrevendo a integral com os intervalos e a função e não esquecendo do jacobiano em coordenadas polares ( r ) que está presente na fórmula, temos:

∫ θ 1 θ 2   ∫ r 1 r 2 f r , θ   r   d r   d θ

∫ 0 3 π / 2 ∫ 0 4 f ( r c o s   θ   ,   r   s e n   θ )   . r   d r   d θ

Resposta

∫ 0 3 π / 2 ∫ 0 4 f ( r c o s   θ   ,   r   s e n   θ )   . r   d r   d θ

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