Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, temos uma integral:

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Que representa a área de uma região.

Precisamos esboçar essa região e calcular a integral!

Pra isso, vamos lembrar que a área de uma região pode ser calculada assim:

A D = ∬ D d A

E que quando fazemos uma mudança para coordenadas polares r , θ , temos o jacobiano J = r , então:

A D = ∬ D r   d r   d θ

Vamos usar isso pra determinar a região que nossa integral representa!

Depois, vamos calcular a integral iterada, de dentro pra fora.

Passo 2

Nossa integral é:

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Como vimos, ela representa a área de uma região D :

A D = ∬ D r   d r   d θ = ∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Só que o integrando já é o mesmo da definição de área, então a região D é definida pelos limites de integração:

π ≤ θ ≤ 2 π

4 ≤ r ≤ 7

Os limites de θ indicam que estamos no terceiro ( π até 3 π 2 ) e quarto ( 3 π 2 até 2 π ) quadrantes.

E os limites de r indicam que estamos entre duas circunferências: uma de raio 4 e outra de raio 7 .

Então:

Passo 3

Agora vamos calcular a integral, de dentro pra fora.

Primeiro em função de r , considerando θ como constante:

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ =

= ∫ π 2 π r 2 2 4 7 d θ =

Substituindo os limites de integração:

= ∫ π 2 π 7 2 2 - 4 2 2 d θ =

= ∫ π 2 π 33 2 d θ =

E agora integramos em função de θ :

= 33 2 θ π 2 π =

= 33 2 2 π - π

Então, achamos o valor da integral:

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ = 33 π 2

Resposta

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ = 33 π 2

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