Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 43

Determinar a derivada direcional da função dada:

f x , y , z = 3 x 2 + 4 y 2 + z , na direção do vetor a → = i → + 2 j → + 2 k →

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ 3 x 2 + 4 y 2 + z ∂ x i → + ∂ 3 x 2 + 4 y 2 + z ∂ y j → + ∂ 3 x 2 + 4 y 2 + z ∂ z k →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y , z = 2 × 3 x   i → + 2 × 4 y   j → + 1 k →

Logo,

∇ f x , y , z = 6 x   i → + 8 y   j → + k →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y , z = 6 x , 8 y , 1

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ a x , y , z = ∇ f x , y , z ⋅ a → a →

Substituindo com o que achamos no Passo anterior e usando que a → = 1,2 , 2 :

∂ f ∂ a x , y , z = 6 x , 8 y , 1 ⋅ 1,2 , 2 1,2 , 2

Assim,

∂ f ∂ a x , y , z = 6 x , 8 y , 1 ⋅ 1,2 , 2 1 2 + 2 2 + 2 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ a x , y , z = 6 x + 16 y + 2 9

Portanto,

∂ f ∂ a x , y , z = 6 x + 16 y + 2 3

Resposta

∂ f ∂ a x , y , z = 6 x + 16 y + 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o mapa de contorno dado, desenhe as curvas de maior crescimento em P e em Q .
Determinar a derivada direcional da função z = y - 1 2 x no ponto P 0 1 , 2 , na direção da normal exterior à elipse 2 x 2 + 3 y 2 = 8 no ponto P 0 .
31. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é de 120°.a) Determine a taxa de variação