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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 46

Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem.

T (x , y , z) = (x y z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Passo 1

Devemos calcular as derivadas parciais de 1ª ordem da equação T (x , y , z) dada.

Primeiramente, temos que derivar T (x , y , z) em relação a x :

(del T ( x , y , z ))/(del x) = (sqrt(x^2 + y^2 + z^2) * y z - x y z * (1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) * 2 x)/(x^2 + y^2 + z^2) = (y z (y^2 + z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

Passo 2

Seguindo, derivaremos T (x , y , z) em relação a y :

(del T ( x , y , z ))/(del y) = (sqrt(x^2 + y^2 + z^2) * x z - x y z * (1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) * 2 y)/(x^2 + y^2 + z^2) = (x z (x^2 + z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

Passo 3

Por fim, derivaremos T (x , y , z) em relação a z :

(del T ( x , y , z ))/(del z) = (sqrt(x^2 + y^2 + z^2) * x y - x y z * (1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) * 2 z)/(x^2 + y^2 + z^2) = (x y (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))

Desse modo, obtemos a derivada parcial de T (x , y , z) em relação a cada variável da equação.

Resposta

(y z (y^2 + z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) ; (x z (x^2 + z^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) ; (x y (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2))) .

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