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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 19

Determine uma função f (x , y) tal que

{[[(del f)/(del x) = 3 x^2 y^2 - 6 y],[(del f)/(del y) = 2 x^3 y - 6 x + (y)/(y^2 + 1)]])

Passo 1

Se temos que (del f)/(del x) = 3 x^2 y^2 - 6 y , então, podemos achar f fazendo:

f (x , y) = int ( 3 x^2 y^2 - 6 y ) del x

Vamos considerar y^2 e y constantes nesse caso:

f (x , y) = int (3 x^2 y^2 - 6 y) del x = (3 x^3)/(3) y^2 - 6 y x + c = x^3 y^2 - 6 x y + c

Para esse caso, se sabemos que a função depende de x e y não podemos assegurar que esse c seja uma constante, podemos ter nele uma função de y , assim:

x^3 y^2 - 6 x y + c = x^3 y^2 - 6 x y + g (y)

Passo 2

Podemos, agora fazer o cálculo para descobrir (del f)/(del y) e nisso acharemos o g (y) , assim:

f (x , y) = int (2 x^3 y - 6 x + (y)/(y^2 + 1)) del y

Nesse caso x^3 e x são constantes

f (x , y) = int (2 x^3 y - 6 x + (y)/(y^2 + 1)) del y = (2 x^3 y^2)/(2) - 6 x y + int ((y)/(y^2 + 1)) del y

Aplicaremos a substituição: u = y^2 + 1 -> d u = 2 y d y

= (1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u|

Voltando pro original:

= (1)/(2) ln |y^2 + 1| + c

Como y^2 + 1 > 0 p a r a t o d o y ϵ R :

= (1)/(2) ln (y^2 + 1) + c

x^3 y^2 - 6 x y + int ((y)/(y^2 + 1)) del y = x^3 y^2 - 6 x y + (1)/(2) ln (y^2 + 1) + c

Como também não podemos garantir que c é uma equação apenas de y vamos considerar c = h (x)

x^3 y^2 - 6 x y + ln (y^2 + 1) + c = x^3 y^2 - 6 x y + (1)/(2) ln (y^2 + 1) + h (x)

Passo 3

Vamos igualar os resultados encontrados, para achar h (x) e g (y) :

x^3 y^2 - 6 x y + (1)/(2) ln (y^2 + 1) + h (x) = x^3 y^2 - 6 x y + g (y)

(1)/(2) ln (y^2 + 1) + h (x) = g (y) -> {[[g (y) = (1)/(2) ln (y^2 + 1)],[h (x) = 0]])

Passo 4

Por fim, encontramos todos os dados para montar f (x , y) :

f (x , y) = x^3 y^2 - 6 x y + (1)/(2) ln (y^2 + 1)

Resposta

f (x , y) = x^3 y^2 - 6 x y + (1)/(2) ln (y^2 + 1)

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