Determine uma função f(x, y) tal que

∂ f ∂ x = 3 x 2 y 2 - 6 y ∂ f ∂ y = 2 x 3 y - 6 x + y y 2 + 1

Passo 1

Se temos que ∂ f ∂ x = 3 x 2 y 2 - 6 y , então, podemos achar f fazendo:

f x , y = ∫ ( 3 x 2 y 2 - 6 y ) ∂ x

Vamos considerar y 2   e   y constantes nesse caso:

f x , y = ∫ 3 x 2 y 2 - 6 y ∂ x = 3 x 3 3 y 2 - 6 y x + c = x 3 y 2 - 6 x y + c

Para esse caso, se sabemos que a função depende de x   e   y não podemos assegurar que esse c seja uma constante, podemos ter nele uma função de y , assim:

x 3 y 2 - 6 x y + c = x 3 y 2 - 6 x y + g y

Passo 2

Podemos, agora fazer o cálculo para descobrir ∂ f ∂ y e nisso acharemos o g y , assim:

f x , y = ∫ 2 x 3 y - 6 x + y y 2 + 1 ∂ y

Nesse caso x 3   e   x são constantes

f x , y = ∫ 2 x 3 y - 6 x + y y 2 + 1 ∂ y = 2 x 3 y 2 2 - 6 x y + ∫ y y 2 + 1 ∂ y

Aplicaremos a substituição: u = y 2 + 1 → d u = 2 y d y

= 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Voltando pro original:

= 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + c

Como y 2 + 1 > 0   p a r a   t o d o   y   ϵ   R :

= 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + c

x 3 y 2 - 6 x y + ∫ y y 2 + 1 ∂ y = x 3 y 2 - 6 x y + 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + c

Como também não podemos garantir que c é uma equação apenas de y vamos considerar c = h x

x 3 y 2 - 6 x y + ln ⁡ y 2 + 1 + c = x 3 y 2 - 6 x y + 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + h x

Passo 3

Vamos igualar os resultados encontrados, para achar h x   e   g y :

x 3 y 2 - 6 x y + 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + h x = x 3 y 2 - 6 x y + g y

1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + h x = g y → g y = 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 h x = 0

Passo 4

Por fim, encontramos todos os dados para montar f x , y :

f x , y = x 3 y 2 - 6 x y + 1 2 ln ⁡ y 2 + 1

Resposta

f x , y = x 3 y 2 - 6 x y + 1 2 ln ⁡ y 2 + 1

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