Determine (∂f/∂x) e (∂f/∂y) sendo:

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser fazer nossa equaçãozinha.

Para x , y   ≠ 0,0

∂ f ∂ x = ∂ x + y 4 x 2 + y 2 ∂ x

∂ x + y 4 x 2 + y 2 = y ² - x 2 - 2 x y 4

∂ f ∂ x = y 2 - x 2 - 2 x y 4 x 2 + y 2 2

Para x,y = 0,0, ∂ f ∂ x é a derivada, nos dando que:

f x , 0 = x   s e   x ≠ 0 0   s e   x = 0

lim ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = 1

∂ f ∂ x =   y 2 - x 2 - 2 x y 4 x 2 + y 2 2 ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 1 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para x , y   ≠ 0,0

∂ f ∂ y = ∂ x + y 4 x 2 + y 2 ∂ x

∂ x + y 4 x 2 + y 2 = 4 y ³ x ² + 2 y 5 - 2 y x

∂ f ∂ y = 4 y ³ x ² + 2 y 5 - 2 y x x 2 + y 2 2

Para x,y = 0,0, ∂ f ∂ y é a derivada, nos dando que:

f 0 , y = - 1   s e   y ≠ 0 0   s e   y = 0

lim ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = …

OPA!! ESSE LIMITE NÃO EXISTE!!! Então, não podemos dizer que ela é definida naquele ponto.

∂ f ∂ y =   4 y ³ x ² + 2 y 5 - 2 y x x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x =   y 2 - x 2 - 2 x y 4 x 2 + y 2 2 ,   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 1 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

∂ f ∂ y =   4 y ³ x ² + 2 y 5 - 2 y x x 2 + y 2 2

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