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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 11

Seja z = f x + a t ,   onde f é uma função diferenciável de uma variável real e a   uma constante. Verifique que

∂ z ∂ t = a ⋅ ∂ z ∂ x

Passo 1

Ixi, menino! Lascou-se ! Mentira hahaha! Vamos analisar algumas cositas ...

Primeiro, perceba que

z :   R 2 → R

x , t ↦ z ( x , t )

Por outro lado,

f :   R → R

y ↦ f y

Com y = x + a t .  

Passo 2

A gora que a gente já reparou de onde sai cada coisa, então já sabemos como fazer as derivadas. Bora pras contas, então ?

Perceba também que se a gente chamar u = x + a t vai facilitar nossa vida, pois teremos z = f ( u ) . Daí,

∂ z ∂ t = f ' u d u d t = f ' u ⋅ a  

Além disso,

∂ z ∂ x =   f ' u d u d x = f ' u ⋅ 1 =   f ' ( u )  

Dessa ultima igualdade, podemos concluir que

∂ z ∂ t = a ⋅   f ' u = a ⋅   ∂ z ∂ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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